[GMat]

Saludos. Me gustaría pedir su ayuda para entender una parte de la exposición del libro de Lee.

En el capítulo 7 "curvature", pagínas 116 y 117 John Lee escribe lo siguiente

"Given a Riemannian 2-manifold \( M \), there is an obvious way to attempt to construct such an extension of a vector \( Z_p\in T_pM \), Choose any local coordinates \( (x^1,x^2) \) centered at \( p \); first parallel translate \( Z_p \) along the \( x^1 \)- axis, and then parallel translate the resulting vectors along the coordinate lines parallel to the \( x^2 \)-axis. The result is a vector field \( Z \) that, by construction, is parallel along every \( x^2 \)-coordinate line and along the \( x^1 \)-axis. The question is whether this vector field is parallel along \( x^1 \)-coordinate lines other than the \( x^1 \)-axis itself, or in other words, whether \( \nabla_{\partial_1}Z=0 \).  Observe that \( \nabla_{\partial_1}Z \) vanishes when \( x^2=0 \),"

Mi pregunta es ¿por que \( \nabla_{\partial_1}Z \) se anula cuando \( x^2=0 \)?

Luego J. Lee continua con lo siguiente

"because \( \nabla_{\partial_2}Z = 0 \) everywhere by construction."

Tampoco me queda claro por que ese campo se enula. obviamente, no me quedó claro la construcción, ¿podrían ayudarme a comprenderla un poco mas?

Gracias de antemano por cualquier ayuda prestada.

[geómetracat]

Mi pregunta es ¿por que \( \nabla_{\partial_1}Z \) se anula cuando \( x^2=0 \)?

Porque has definido el campo trasladando paralelamente un vector en el punto \( p \) (coordenadas locales \( x^1=0,x^2=0 \)) a lo largo del eje \( x^1 \) (que tiene ecuación \( x^2=0 \) en coordenadas locales y por tanto vector tangente \( \partial_1 \)).

Luego J. Lee continua con lo siguiente

"because \( \nabla_{\partial_2}Z = 0 \) everywhere by construction."

Tampoco me queda claro por que ese campo se enula. obviamente, no me quedó claro la construcción, ¿podrían ayudarme a comprenderla un poco mas?

Porque después has extendido el campo fuera del eje \( x^1 \) transportando paralelamente por curvas de la forma \( x^1=c \), que tienen vector tangente \( \partial_2 \). Es decir, el campo vectorial que has definido es paralelo, por definición, a lo largo de todas las curvas \( x^2=c \) y por tanto \( \nabla_{\partial_1}=0 \).

No sé si esto te aclarará mucho, da la sensación de que lo único que he hecho ha sido repetir la construcción. Si sigues sin entenderlo vuelve a preguntar e intento explicarlo de alguna otra manera.

[GMat]

Saludos. Gracias por responder. Te agradecería si pudieras explicármelo de otra forma, sigo sin comprender bien el asunto.

[geómetracat]

La verdad es que no tengo muy claro cómo explicarlo. Te pondré los pasos numerados y me dices con cuál y en qué tienes problemas exactamente.

1. Situación: tenemos una superfície riemanniana \( M \), un punto \( p \in M \), unas coordenadas locales \( (x^1,x^2) \) centradas en \( p \) y un vector \( v \in T_pM \). El objetivo es extender este vector a un campo vectorial \( Z \) en un entorno de \( p \), que cumpla las condiciones que pone en el libro.

2. Extensión de \( v \) a la curva \( x^2=0 \). Vamos a extender \( v \) a un campo vectorial \( Z' \) sobre la curva dada por \( c:t \mapsto (t,0) \) en las coordenadas locales. Para ello, al punto \( (t,0) \) le asignamos el vector transportado paralelo de \( v \) a lo largo de la curva \( c \).

3. Para todos los puntos de dicha curva (puntos con \( x^2=0 \)), se tiene que \( \nabla_{\partial_1} Z' =0 \). En efecto, esto se sigue de la definición de transporte paralelo o, si lo prefieres, de la derivada covariante (y del hecho de que el vector tangente a la curva \( c \) en cualquier punto es \( \partial_1 \)).
Además, esto nos asegura ya que extendamos como extendamos \( Z' \) al resto del entorno de \( p \), se cumplirá que en los puntos con \( x^2=0 \), \( \nabla_{\partial_1} Z =0 \), que es la primera propiedad.

4. Ahora vamos a extender \( Z' \) a un campo vectorial \( Z \) en un entorno de \( p \) (donde valen las coordenadas locales que venimos usando). Para ellol, toma un punto de coordenadas \( (t,s) \). Fíjate que por el paso anterior ya tenemos definido \( Z \) en el punto \( (t,0) \). Pues bien, ahora consideramos la curva \( c_t:s \mapsto (t,s) \) y definimos el vector \( Z_{(t,s)} \) como el transportado paralelo del vector \( Z_{(t,0)} \) a lo largo de la curva \( c_t \). Así hemos definido el campo vectorial \( Z \) en todo el entorno coordenado.

5. El campo \( Z \) cumple \( \nabla_{\partial_2} Z =0 \) en cualquier punto. Esto es de nuevo por cómo ha sido definido (definición de transporte paralelo) junto con el hecho de que el vector tangente a una curva \( c_t \) en cualquier punto es \( \partial_2 \).

Como te he dicho, indícame con qué punto y en qué exactamente empiezas a tener problemas, y lo miramos con más cuidado.

[GMat]

Comprendo que el problema el enunciado es tan simple que es difícil de explicar. Quizás no te sorprenda que al leer los pasos enumerados y la pequeña explicación que diste se me aclaro la duda. Ahora no se como no lo había entendido antes.

¡Muchas gracias!

[geómetracat]

Comprendo que el problema el enunciado es tan simple que es difícil de explicar. Quizás no te sorprenda que al leer los pasos enumerados y la pequeña explicación que diste se me aclaro la duda. Ahora no se como no lo había entendido antes.

¡Muchas gracias!

Perfecto entonces, me alegro de que haya quedado claro.