Autor Tema: Interpretación geométrica de la curvatura (John M. Lee)

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

08 Diciembre, 2019, 05:31 am
Leído 552 veces

GMat

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 91
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Saludos. Me gustaría pedir su ayuda para entender una parte de la exposición del libro de Lee.

En el capítulo 7 "curvature", pagínas 116 y 117 John Lee escribe lo siguiente

"Given a Riemannian 2-manifold \( M \), there is an obvious way to attempt to construct such an extension of a vector \( Z_p\in T_pM \), Choose any local coordinates \( (x^1,x^2) \) centered at \( p \); first parallel translate \( Z_p \) along the \( x^1 \)- axis, and then parallel translate the resulting vectors along the coordinate lines parallel to the \( x^2 \)-axis. The result is a vector field \( Z \) that, by construction, is parallel along every \( x^2 \)-coordinate line and along the \( x^1 \)-axis. The question is whether this vector field is parallel along \( x^1 \)-coordinate lines other than the \( x^1 \)-axis itself, or in other words, whether \( \nabla_{\partial_1}Z=0 \).  Observe that \( \nabla_{\partial_1}Z \) vanishes when \( x^2=0 \),"

Mi pregunta es ¿por que \( \nabla_{\partial_1}Z \) se anula cuando \( x^2=0 \)?

Luego J. Lee continua con lo siguiente

"because \( \nabla_{\partial_2}Z = 0 \) everywhere by construction."

Tampoco me queda claro por que ese campo se enula. obviamente, no me quedó claro la construcción, ¿podrían ayudarme a comprenderla un poco mas?

Gracias de antemano por cualquier ayuda prestada.

08 Diciembre, 2019, 11:57 am
Respuesta #1

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,101
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Mi pregunta es ¿por que \( \nabla_{\partial_1}Z \) se anula cuando \( x^2=0 \)?

Porque has definido el campo trasladando paralelamente un vector en el punto \( p \) (coordenadas locales \( x^1=0,x^2=0 \)) a lo largo del eje \( x^1 \) (que tiene ecuación \( x^2=0 \) en coordenadas locales y por tanto vector tangente \( \partial_1 \)).

Citar
Luego J. Lee continua con lo siguiente

"because \( \nabla_{\partial_2}Z = 0 \) everywhere by construction."

Tampoco me queda claro por que ese campo se enula. obviamente, no me quedó claro la construcción, ¿podrían ayudarme a comprenderla un poco mas?

Porque después has extendido el campo fuera del eje \( x^1 \) transportando paralelamente por curvas de la forma \( x^1=c \), que tienen vector tangente \( \partial_2 \). Es decir, el campo vectorial que has definido es paralelo, por definición, a lo largo de todas las curvas \( x^2=c \) y por tanto \( \nabla_{\partial_1}=0 \).

No sé si esto te aclarará mucho, da la sensación de que lo único que he hecho ha sido repetir la construcción. Si sigues sin entenderlo vuelve a preguntar e intento explicarlo de alguna otra manera.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Diciembre, 2019, 10:17 pm
Respuesta #2

GMat

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 91
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Saludos. Gracias por responder. Te agradecería si pudieras explicármelo de otra forma, sigo sin comprender bien el asunto.

09 Diciembre, 2019, 12:17 pm
Respuesta #3

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,101
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
La verdad es que no tengo muy claro cómo explicarlo. Te pondré los pasos numerados y me dices con cuál y en qué tienes problemas exactamente.

1. Situación: tenemos una superfície riemanniana \( M \), un punto \( p \in M \), unas coordenadas locales \( (x^1,x^2) \) centradas en \( p \) y un vector \( v \in T_pM \). El objetivo es extender este vector a un campo vectorial \( Z \) en un entorno de \( p \), que cumpla las condiciones que pone en el libro.

2. Extensión de \( v \) a la curva \( x^2=0 \). Vamos a extender \( v \) a un campo vectorial \( Z' \) sobre la curva dada por \( c:t \mapsto (t,0) \) en las coordenadas locales. Para ello, al punto \( (t,0) \) le asignamos el vector transportado paralelo de \( v \) a lo largo de la curva \( c \).

3. Para todos los puntos de dicha curva (puntos con \( x^2=0 \)), se tiene que \( \nabla_{\partial_1} Z' =0 \). En efecto, esto se sigue de la definición de transporte paralelo o, si lo prefieres, de la derivada covariante (y del hecho de que el vector tangente a la curva \( c \) en cualquier punto es \( \partial_1 \)).
Además, esto nos asegura ya que extendamos como extendamos \( Z' \) al resto del entorno de \( p \), se cumplirá que en los puntos con \( x^2=0 \), \( \nabla_{\partial_1} Z =0 \), que es la primera propiedad.

4. Ahora vamos a extender \( Z' \) a un campo vectorial \( Z \) en un entorno de \( p \) (donde valen las coordenadas locales que venimos usando). Para ellol, toma un punto de coordenadas \( (t,s) \). Fíjate que por el paso anterior ya tenemos definido \( Z \) en el punto \( (t,0) \). Pues bien, ahora consideramos la curva \( c_t:s \mapsto (t,s) \) y definimos el vector \( Z_{(t,s)} \) como el transportado paralelo del vector \( Z_{(t,0)} \) a lo largo de la curva \( c_t \). Así hemos definido el campo vectorial \( Z \) en todo el entorno coordenado.

5. El campo \( Z \) cumple \( \nabla_{\partial_2} Z =0 \) en cualquier punto. Esto es de nuevo por cómo ha sido definido (definición de transporte paralelo) junto con el hecho de que el vector tangente a una curva \( c_t \) en cualquier punto es \( \partial_2 \).

Como te he dicho, indícame con qué punto y en qué exactamente empiezas a tener problemas, y lo miramos con más cuidado.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

10 Diciembre, 2019, 03:13 am
Respuesta #4

GMat

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 91
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Comprendo que el problema el enunciado es tan simple que es difícil de explicar. Quizás no te sorprenda que al leer los pasos enumerados y la pequeña explicación que diste se me aclaro la duda. Ahora no se como no lo había entendido antes.

¡Muchas gracias!

10 Diciembre, 2019, 10:47 am
Respuesta #5

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,101
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Comprendo que el problema el enunciado es tan simple que es difícil de explicar. Quizás no te sorprenda que al leer los pasos enumerados y la pequeña explicación que diste se me aclaro la duda. Ahora no se como no lo había entendido antes.

¡Muchas gracias!

Perfecto entonces, me alegro de que haya quedado claro.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)