[GMat]

¡Saludos! Me gustaría consultarles lo siguiente.

Cuando se intenta resolver una EDP lineal de primer orden \( A(x,y)u_y+B(x,y)u_x+C(x,y)u+D(x,y)=0 \) la manera general de resolverla es considerar la ecuación característica \( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{A(x,y)}{B(x,y)} \)? La cual es una EDO de primer orden. Mi pregunta es: Si hacemos \( A(x,y)=dy,B(x,y)=dx \) ¿Como procedemos en este caso? Ya tomar la ecuación caracxteristica no me sirve de mucho ya que solo me dice que \( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dx} \).

Del mismo modo me gustaría saber que ocurre si \( A(x,y)=f(x,y)dy,B(x,y)=g(x,y)dx \), aquí me aparece al final que \( f(x,y)=g(x,y) \) lo cual tampoco veo como me podría ayudar ya que allí podría integrar con respecto a x ó y, como sabría cual tomar. Realmente no se como quedaría la solución de la ecuación caracteristica, que es la que se necesita para estos casos.

[geómetracat]

\( A(x,y) \) y \( B(x,y) \) son funciones: las funciones que acompañan a \( \frac{\partial u}{\partial y} \) y \( \frac{\partial u}{\partial x} \), respectivamente, en la EDP.
No son formas diferenciales ni nada por el estilo. Por tanto, no pueden contener ningún \( dx \) ni ningún \( dy \).

[GMat]

Saludos, muchas gracias por la respuesta. Supongo que para aclarar mejor lo que quiero hacer tengo que  dar más contexto.

Si yo tengo el siguiente derivada total \( df=x'\dfrac{\partial f}{\partial x}+y'\dfrac{\partial f}{\partial y} \) y \( dg=x'\dfrac{\partial g}{\partial x}+y'\dfrac{\partial g}{\partial y} \) y me considero la siguiente expresión

\( df.g+f.dg=h \)  (*).

donde \( h \) es una nuevo función, si supongo que conocemos de antemano el valor de \( f \) y sus derivadas pero no conocemos el valor de \( g \) ¿No podríamos considerar la expresión (*) como una EDP de primer orden donde los coeficientes sean la función \( f \) junto con sus derivadas? Claramente los términos que había colocado en el post anterior salen de ese razonamiento, dado que las derivadas de \( g \) están multiplicadas por \( x',y' \) ¿Podemos pasar colocar estas expresiones multiplicando a la función \( f \) y tratar la ecuación como una EDP de primer orden?

La respuesta ya me la indicaste, es no, lo que me gustaría saber ahora es por qué no se puede (que falla) y como podría resolver una ecuación de ese tipo, ¿Es necesario recurrir a la teoría de formas diferenciales?

[geómetracat]

Necesitaré más contexto para responder. ¿Qué son \( x',y' \)? ¿Tienes una curva \( c:t \mapsto(x(t),y(t)) \) y son derivadas respecto al parámetro \( t \)?

En cualquier caso, tu uso de la notación \( df \) diría que no es nada estándar. Normalmente por \( df \) se entiende la derivada exterior de \( f \) (que es una \( 1 \)-forma), pero entonces la ecuación que planteas no tiene sentido (porque estás igualando una \( 1 \)-forma a una función). Otra posibilidad es lo que decía más arriba de que todo dependa de un parámetro \( t \). En ese caso deberías poner \( d(f\circ c)/dt \) y usas la regla de la cadena.

Cuando hayas aclarado bien cuál es la situación te contesto.

[GMat]

... ¿Tienes una curva \( c:t \mapsto(x(t),y(t)) \) y son derivadas respecto al parámetro \( t \)?

Si me disculpo, por no querer escribir tanto termine usando una pésima notación. Eso que colocaste es realmente lo que quise decir con \( df \). Realmente es \( \dfrac{df}{dt} \) en el contexto que comentaste.

Saludos.

[geómetracat]

De acuerdo. Entonces no es una EDP (por lo menos no en el sentido usual).
Lo primero, fíjate que en principio no puedes llegar a conocer \( f \) ni sus derivadas parciales, sino únicamente sus valores sobre la curva (fuera de la curva podrían valer cualquier cosa). En cambio, en una EDP lo que tienes es una ecuación en algún abierto del plano.

Para resolver tu ecuación, suponiendo que conoces \( f,h \) sobre la curva, yo haría lo siguiente:
\( fdg/dt + gdf/dt = d(fg)/dt \),
de forma que la ecuación queda \( d(fg)/dt=h \).
Ahora, \( f(t)g(t)= \int h(t) dt \) y de ahí ya despejas \( g(t) \).