Autor Tema: ¿Es posible hallar \(n\in(100,200)\) tal que \(\varphi(n)=n/2\)?

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04 Diciembre, 2019, 05:22 am
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manooooh

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Hola!

¿Verdadero o falso? Es posible hallar un \( n\in\Bbb{N} \) tal que \( 100<n<200 \) y \( \varphi(n)=\dfrac{n}{2} \), donde \( \varphi(n)=\operatorname{card}(\{x\in\Bbb{N}\mid x\leq n\wedge\gcd(x,n)=1\}) \) (función de Euler).



Supongo que se puede generalizar. (¿O conviene ir probando "a mano" entre \( 101 \) y \( 199 \)?)

Conozco las siguientes propiedades:

1) Si \( n \) es primo entonces \( \varphi(n)=n-1 \)

2) Si \( n \) es natural y \( p \) primo entonces \( \varphi(p^n)=p^n(1-1/p) \)

3) Si \( n,m \) son naturales y \( \gcd(n,m)=1 \) entonces \( \varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m) \)

4) \( \varphi(n)=\displaystyle n\cdot\prod_{p_i\mid n}\left(1-\frac{1}{p_i}\right),\quad \) con \( p_i \) los primos divisores de \( n \)



Según WA las únicas soluciones para \( \varphi(n)=n/2 \) son: \( n=0,2,4,8,16 \), por lo que para \( 100<n<200 \) NO hay solución.

Intenté escribirlo así:

\( \displaystyle\varphi(n)=\frac n2\implies n=2k\implies\varphi(2k)=k\implies\text{???} \)

O sino

\( \displaystyle\varphi(n)=\frac n2\implies2\varphi(n)=n\implies\varphi(4)\varphi(n)=\varphi(4n)=n \)    (pero se reducen las soluciones, así que la recíproca de (3) NO es cierta en general).

¿Cómo demostrarían la inexistencia de soluciones?

Gracias!!
Saludos

04 Diciembre, 2019, 07:29 am
Respuesta #1

ingmarov

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 Hola manooooh.       Editado


Intenté escribirlo así:

\( \displaystyle\varphi(n)=\frac n2\implies n=2k\implies\varphi(2k)=k\implies\text{???} \)

 ...

Entonces tenemos que n debe ser par

Para los valores de \( 50<k< 100 \) impar

Se cumple \( \varphi(n)=\varphi(2k)=\varphi(2)\varphi(k)=\varphi(k)\bf\neq k \)

Entonces k podría ser un par entre 50 y 100.



¿Las potencias de dos podrían ser? Ya que
\( \varphi(n)=\varphi(2^t)=2^t(1-\frac{1}{2})=\dfrac{2^t}{2} \)

¿128?



Los números pares con otros factores primos distintos a dos (102 por ejemplo) ¿Qué pasa con el producto?

\( \displaystyle \cdot\prod_{p_i\mid n}\left(1-\frac{1}{p_i}\right) \)

¿Puede ese producto ser igual a \( \frac{1}{2} \)?


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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04 Diciembre, 2019, 11:59 am
Respuesta #2

feriva

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Hola, manooooh, buenos días, cuánto tiempo sin encontrarnos por aquí.

Se me ocurre esto (si estoy entendiendo el problema).

Tenemos que la phi de “n” cumple

\( n(1-\dfrac{1}{p_{1}})...(1-\dfrac{1}{p_{i}})=\dfrac{n}{2}\Rightarrow
  \)

Dividiendo entre “n”

\( (1-\dfrac{1}{p_{1}})...(1-\dfrac{1}{p_{i}})=\dfrac{1}{2}
  \)

Esto se cumple de momento para n=2, pero \( \varphi(2)=1
  \) y es muy pequeña; ¿existe otro “n”?

Como para cualquier “p” se tiene \( 1-\dfrac{1}{p}<1
  \), se trata de ver si existe un producto \( (1-\dfrac{1}{p_{{\color{magenta}2}}})...(1-\dfrac{1}{p_{i}})
  \) tal que multiplicado por 1/2 lo deje invariante; es decir, ese producto a multiplicar por 1/2, si existe, tiene que dar 1, el neutro.

Si existe, tendrá que estar asociado a la phi de al menos otro “n” distinto (o sea, estamos quitando el 1/2 para el primo 2 y considerando el producto de los otros \( (1-\dfrac{1}{p_{i}})
  \)).

Por ejemplo, pon que esos primos fueran 3,5,7 (aunque no pase eso de obtener 1 al multiplicar la cuenta).

Pues entonces “n” estaría formado por el producto de esos primos a la potencia que fuera y por el factor 2 también. Quitando el 2 tendremos compuestos de los primos 3,5,7, es decir, tendremos algunos “m” con una phi tal que \( m(1-\dfrac{1}{p_{1}})...(1-\dfrac{1}{p_{i}})
  \) donde ningún p sea 2 y tal que \( (1-\dfrac{1}{p_{1}})...(1-\dfrac{1}{p_{i}})=1
  \). Entonces, si existiera “m”, existiría \( \varphi(m)=m
  \).

Lo cual es imposible, ya que las phis más grandes en cardinal (más grandes relativamente respecto del tamaño de "n") son las de los primos, y siempre son menores, son p-1.

Por tanto, eso no puede ser.

(Seguro que, como siempre, habré entendido otra cosa y no tiene nada que ver ).

Ah, faltaba considerar la acotación para las distintas potencias de 2

Entonces \( 2^7 \) es el único, por la cuenta de la vieja; luego entiendo que la respuesta es que sí.

.

Saludos.


06 Diciembre, 2019, 12:22 am
Respuesta #3

manooooh

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Hola ingmarov!

Para los valores de \( 50<k< 100 \) impar

O sea que estás distinguiendo para distintos valores de \( k \): los pares y los impares (su unión da todo, los enteros).

Deberíamos llegar a una contradicción con \( k \) par y con \( k \) impar para demostrar que NO existe solución, ¿es correcto?

Se cumple \( \varphi(n)=\varphi(2k)=\varphi(2)\varphi(k)=\varphi(k)\bf\neq k \)

No entiendo de dónde sale ese \( \neq k \). Entiendo que \( \varphi(n)=\varphi(k) \), pero no por qué es distinto a \( k \) (¿a qué debería ser igual?).

Entonces k podría ser un par entre 50 y 100.

Una vez aclarado por qué no puede ser \( k \) impar, esto lo entiendo.

Punto aparte: ¿Qué casos vamos a analizar?

Tenemos que \( n=2k \) y a su vez \( k=2m \).

¿Las potencias de dos podrían ser? Ya que
\( \varphi(n)=\varphi(2^t)=2^t(1-\frac{1}{2})=\dfrac{2^t}{2} \)

¿128?

\( \varphi(128)\neq128/2 \), o sea que la (única) potencia PAR entre \( 100 \) y \( 200 \) NO cumple lo pedido.

De los \( k \) par descartamos las potencias de \( 2 \). ¿Y qué pasa con las potencias de \( 3 \), con los logaritmos de base \( 2 \) con argumento entero y resultado entero, etc? Para mí hay muchos más casos que analizar ???.

Los números pares con otros factores primos distintos a dos (102 por ejemplo) ¿Qué pasa con el producto?

\( \displaystyle \cdot\prod_{p_i\mid n}\left(1-\frac{1}{p_i}\right) \)

¿Puede ese producto ser igual a \( \frac{1}{2} \)?

No entiendo de dónde sale ese \( 1/2 \).

¿Los otros casos además de "Potencias de \( 2 \)" son únicamente "todos los números pares con otros factores primos distintos a dos"? No lo acabo de ver; no creo que esa condición "llene" a todos los números faltantes entre \( 100 \) y \( 200 \).

Gracias por tu ayuda!
Saludos

06 Diciembre, 2019, 12:26 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola feriva!

Hola, manooooh, buenos días, cuánto tiempo sin encontrarnos por aquí.

La verdad que sí... :(

Se me ocurre esto (si estoy entendiendo el problema).

Tenemos que la phi de “n” cumple

\( n(1-\dfrac{1}{p_{1}})...(1-\dfrac{1}{p_{i}})=\dfrac{n}{2}\Rightarrow
  \)

Dividiendo entre “n”

\( (1-\dfrac{1}{p_{1}})...(1-\dfrac{1}{p_{i}})=\dfrac{1}{2}
  \)

Esto se cumple de momento para n=2, pero \( \varphi(2)=1
  \) y es muy pequeña; ¿existe otro “n”?

Como para cualquier “p” se tiene \( 1-\dfrac{1}{p}<1
  \), se trata de ver si existe un producto \( (1-\dfrac{1}{p_{{\color{magenta}2}}})...(1-\dfrac{1}{p_{i}})
  \) tal que multiplicado por 1/2 lo deje invariante; es decir, ese producto a multiplicar por 1/2, si existe, tiene que dar 1, el neutro.

Si existe, tendrá que estar asociado a la phi de al menos otro “n” distinto (o sea, estamos quitando el 1/2 para el primo 2 y considerando el producto de los otros \( (1-\dfrac{1}{p_{i}})
  \)).

Por ejemplo, pon que esos primos fueran 3,5,7 (aunque no pase eso de obtener 1 al multiplicar la cuenta).

Pues entonces “n” estaría formado por el producto de esos primos a la potencia que fuera y por el factor 2 también. Quitando el 2 tendremos compuestos de los primos 3,5,7, es decir, tendremos algunos “m” con una phi tal que \( m(1-\dfrac{1}{p_{1}})...(1-\dfrac{1}{p_{i}})
  \) donde ningún p sea 2 y tal que \( (1-\dfrac{1}{p_{1}})...(1-\dfrac{1}{p_{i}})=1
  \). Entonces, si existiera “m”, existiría \( \varphi(m)=m
  \).

Lo cual es imposible, ya que las phis más grandes en cardinal (más grandes relativamente respecto del tamaño de "n") son las de los primos, y siempre son menores, son p-1.

Por tanto, eso no puede ser.

(Seguro que, como siempre, habré entendido otra cosa y no tiene nada que ver ).

Ah, faltaba considerar la acotación para las distintas potencias de 2

Entonces \( 2^7 \) es el único, por la cuenta de la vieja; luego entiendo que la respuesta es que sí.

.

Me mareo un poco; pero ¿por qué probás con \( n \) pequeños cuando \( 100<n<200 \)? No entiendo cómo deducís que si para \( n \) chicos no se cumple, luego para \( n \) grandes tampoco.

Gracias y vamos que falta poco para Navidad.

Saludos

06 Diciembre, 2019, 12:43 am
Respuesta #5

feriva

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Me mareo un poco; pero ¿por qué probás con \( n \) pequeños cuando \( 100<n<200 \)? No entiendo cómo deducís que si para \( n \) chicos no se cumple, luego para \( n \) grandes tampoco.

Gracias y vamos que falta poco para Navidad.

Saludos

Hola, manooooh; buenas noches (y heladas ya cerca de la Navidad).

La phi de cualquier potencia de 2 es así \( 2^{k}(1-\dfrac{1}{2})=\dfrac{2^{k}}{2}
  \), donde \( n=2^{k}
  \); ¿de acuerdo? Por la fórmula, simplemente. Pero la única que está entre 100 y 200 es \( n=2^{7}=128
  \). Luego ésa cumple lo que te piden, y como cumple, pues sí es posible encontrarlo.

Saludos.

06 Diciembre, 2019, 12:51 am
Respuesta #6

manooooh

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Hola, buenas noches

La phi de cualquier potencia de 2 es así \( 2^{k}(1-\dfrac{1}{2})=\dfrac{2^{k}}{2}
  \), donde \( n=2^{k}
  \); ¿de acuerdo? Por la fórmula, simplemente. Pero la única que está entre 100 y 200 es \( n=2^{7}=128
  \). Luego ésa cumple lo que te piden, y como cumple, pues sí es posible encontrarlo.

:o me hiciste ver que estaba equivocado: ¡el enunciado es cierto!

O sea el ejercicio resuelto quedaría así:

Sabemos que \( n \) debe ser par, porque en caso contrario \( n=2k+1 \) y \( (2k+1)/2 \) no es un número natural. Entonces \( n=2k \).

Ahora veamos si de todos los números pares entre \( 100 \) y \( 200 \), alguna potencia de \( 2 \) cumple lo pedido. La única es \( 2^7=128 \), y

\( \varphi(2^7)=\displaystyle2^7\left(1-\frac{1}{2}\right)=2^6=64=\frac{128}{2}, \)

por lo tanto sí existe un valor de \( n \).



¿Es correcto o la hipótesis de que "\( n \) debe ser par" es redundante? ¿Podríamos haber atacado al problema directamente con probar todas las potencias pares, sin suponer que todo \( n \) ha de ser par?

Saludos

06 Diciembre, 2019, 12:55 am
Respuesta #7

feriva

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¿Es correcto o la hipótesis de que "\( n \) debe ser par" es redundante? ¿Podríamos haber atacado al problema directamente con probar todas las potencias pares, sin suponer que todo \( n \) ha de ser par?

Saludos

Sí, realmente no hacía falta demostrar que no es posible que ocurra con pares que sean a la vez múltiplos de impares, bastaba con encontrar alguno simplemente; pero yo empecé a pensar eso y ni me di cuenta de que era más simple.

Saludos otra vez.

06 Diciembre, 2019, 09:09 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

O sea el ejercicio resuelto quedaría así:

Sabemos que \( n \) debe ser par, porque en caso contrario \( n=2k+1 \) y \( (2k+1)/2 \) no es un número natural. Entonces \( n=2k \).

Ahora veamos si de todos los números pares entre \( 100 \) y \( 200 \), alguna potencia de \( 2 \) cumple lo pedido. La única es \( 2^7=128 \), y

\( \varphi(2^7)=\displaystyle2^7\left(1-\frac{1}{2}\right)=2^6=64=\frac{128}{2}, \)

por lo tanto sí existe un valor de \( n \).

Si, para responder exclusivamente a lo que plantea el ejercicio es suficiente eso. Adicionalmente el esbozo de argumento de ingmarov muestra que de hecho los únicos números que cumplen esa propiedad son las potencias de dos.

Citar
¿Es correcto o la hipótesis de que "\( n \) debe ser par" es redundante? ¿Podríamos haber atacado al problema directamente con probar todas las potencias pares, sin suponer que todo \( n \) ha de ser par?

No entiendo bien la pregunta. \( n \) par no es una hipótesis. Es una conclusión que se deduce a las primeras de cambio del enunciado, ya que para que \( \varphi(n)=n/2 \) tiene que cumplirse que \( n/2 \) sea entero, es decir, que \( n \) sea par.

Saludos.

06 Diciembre, 2019, 11:05 am
Respuesta #9

feriva

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Buenos días, manooooh.

Citar

Me mareo un poco


Aunque no fuera necesario ese lío, la explicación que di fue muy mala y no me quedo a gusto; dejo otra más formal.

Sea \( n\in\mathbb{N}
  \); entonces pueden ocurrir tres casos a partir del Teorema Fundamental de la Aritmética:

Con \( (p_{i}=p_{1},p_{2},p_{3}...\neq2)\in\mathbb{P}
  \) (sin orden particular; son algunos primos arbitrarios distintos o iguales);

casos

1º \( n=2^{k}
  \)

2º \( n=p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i}
  \)

3º \( n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i}
  \).

Sea el 3º caso:

\( n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i}
  \)

Entonces

\( \varphi(n)=\varphi(2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i})=(2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i})\cdot(1-\dfrac{1}{2})\cdot(1-\dfrac{1}{p_{1}})\cdot...(1-\dfrac{1}{p_{i}})\Rightarrow
  \)

\( \exists m:\,\varphi(m)=\varphi(p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i})=(p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i})\cdot(1-\dfrac{1}{p_{1}})\cdot...\cdot(1-\dfrac{1}{p_{i}})
  \):

Spoiler

Esa última afirmación es obvia; por definición. Pues si, por ejemplo, \( n=6
  \), se tiene

\( \varphi(6)=2\cdot{\color{magenta}3}\cdot(1-\dfrac{1}{2}){\color{magenta}(1-\dfrac{1}{3})}
  \)

entonces, necesariamente, ocurre \( \exists\varphi({\color{magenta}3}):\,\varphi({\color{magenta}3})={\color{magenta}3}\cdot{\color{magenta}(1-\dfrac{1}{3})}
  \).

[cerrar]

Ahora, supongamos: \( \varphi(n)=\varphi(2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i})=\dfrac{(2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i})}{2}=\dfrac{n}{2}=2^{k-1}
  \)

Podemos representar lo mismo así

\( \varphi(n)=(n)\cdot(1-\dfrac{1}{2})\cdot{\color{magenta}(1-\dfrac{1}{p_{1}})\cdot...\cdot(1-\dfrac{1}{p_{i}})}=\dfrac{n}{2}\Rightarrow
  \)

\( {\color{magenta}(1-\dfrac{1}{p_{1}})\cdot...\cdot(1-\dfrac{1}{p_{i}})}=1
  \).

Y entonces existe \( m=p_{1}\cdot...p_{i}
  \) tal que

\( \varphi(m)=m\cdot{\color{magenta}(1-\dfrac{1}{p_{1}})\cdot...\cdot(1-\dfrac{1}{p_{i}})}=m\cdot{\color{magenta}1}=m
  \)

Con lo que \( \varphi(m)=m
  \). Lo cual, si lo analizas, quiere decir que hasta el propio “m” es coprimo con sí mismo (nadie lo divide) lo que es imposible salvo quizá si consideramos m=1.

Claro, en los casos “m” primo, al menos no es coprimo con sí mismo, y de ahí que la phi sea p-1.

Por ejemplo, si fuera \( \varphi{7}=7 \),, querría decir que los coprimos son 1,2,3,4,5,6... y 7; absurdo, pues \( mcd(7,7)=7 \)

*(He intentado no equivocarme... pero nunca lo consigo, así que no sé; dime si estás de acuerdo, que llevo un mes que no estoy seguro ni de cómo me llamo)

Saludos.

07 Diciembre, 2019, 04:32 am
Respuesta #10

ingmarov

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Hola             Editado

...

Se cumple \( \varphi(n)=\varphi(2k)=\varphi(2)\varphi(k)=\varphi(k)\bf\neq k \)

No entiendo de dónde sale ese \( \neq k \). Entiendo que \( \varphi(n)=\varphi(k) \), pero no por qué es distinto a \( k \) (¿a qué debería ser igual?).

...

Lo podemos ver de su fórmula

\( \varphi(n)=\displaystyle n\cdot\prod_{p_i\mid n}\left(1-\frac{1}{p_i}\right)\color{blue}\bf\neq n \)

Fi(n) será distinta de n, para todo entero n mayor a uno. En el lado izquierdo de la igualdad (no en azul) tenemos a n multiplicado por factores menores que uno.


Añado


Los números pares con otros factores primos distintos a dos (102 por ejemplo) ¿Qué pasa con el producto?

\( \displaystyle \cdot\prod_{p_i\mid n}\left(1-\frac{1}{p_i}\right) \)

¿Puede ese producto ser igual a \( \frac{1}{2} \)?

No entiendo de dónde sale ese \( 1/2 \).

¿Los otros casos además de "Potencias de \( 2 \)" son únicamente "todos los números pares con otros factores primos distintos a dos"? No lo acabo de ver; no creo que esa condición "llene" a todos los números faltantes entre \( 100 \) y \( 200 \).

Nos remitimos de nuevo a la fórmula.

\( \varphi(n)={\bf n}\displaystyle \cdot\prod_{p_i\mid n}\left(1-\frac{1}{p_i}\right)\color{blue}\bf =n(\frac{1}{2}) \)

Lo que está en azul era lo que buscabas.


Fueron solo ideas que podrían ayudarte... Había que ordenar y terminar el trabajo.

Saludos


No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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08 Diciembre, 2019, 01:03 am
Respuesta #11

manooooh

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Hola Luis

No entiendo bien la pregunta. \( n \) par no es una hipótesis. Es una conclusión que se deduce a las primeras de cambio del enunciado, ya que para que \( \varphi(n)=n/2 \) tiene que cumplirse que \( n/2 \) sea entero, es decir, que \( n \) sea par.

Es cierto, no es una hipótesis, perdón.

Me refiero a que si era necesario concluir que \( n \) ha de ser par, o por el contrario podríamos haber "atacado" al problema probando con potencias de \( 2 \). ¿Era necesario concluir que \( n \) debe ser par?

Saludos

08 Diciembre, 2019, 01:06 am
Respuesta #12

manooooh

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Hola feriva!

Sea \( n\in\mathbb{N}
  \); entonces pueden ocurrir tres casos a partir del Teorema Fundamental de la Aritmética:

1º \( n=2^{k}
  \)

2º \( n=p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i}
  \)

3º \( n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i}
  \).

Pues te diré algo: Si yo tomo \( n=3 \) entonces pertenece al 2º y 3º casos, porque \( n=p_1=3 \) y \( n=2^0\cdot p_1=3 \), entonces no serían 3 casos sino uno menos ???.

Saludos

08 Diciembre, 2019, 01:19 am
Respuesta #13

feriva

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Pues te diré algo: Si yo tomo \( n=3 \) entonces pertenece al 2º y 3º casos, porque \( n=p_1=3 \) y \( n=2^0\cdot p_1=3 \), entonces no serían 3 casos sino uno menos ???.

Saludos

Hola, manooooh :)

Estoy muy dormido, pero es que eso es 1, dos a la cero no es un par ni un primo, se entiende \( k\neq0
  \), porque 1 no se descompone en primos, no existe “p” tal que \( \varphi(1)=1\cdot(1-\dfrac{1}{p})
  \), no existe la phi de \( 2^0 \)

Buenas noches.

08 Diciembre, 2019, 01:27 am
Respuesta #14

manooooh

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Hola

Estoy muy dormido, pero es que eso es 1, dos a la cero no es un par ni un primo, se entiende \( k\neq0
  \), porque 1 no se descompone en primos, no existe “p” tal que \( \varphi(1)=1\cdot(1-\dfrac{1}{p})
  \), no existe la phi de \( 2^0 \)

Es cierto. ¿Quién estará más dormido? :laugh:

¿Y si ahora \( n=6 \)? Por un lado tenemos \( n=2\cdot3 \) y por el otro \( n=2^1\cdot3 \); un mismo \( n \) pertenece a dos clases distintas.

(...) no existe la phi de \( 2^0 \)

\( \varphi(2^0)=\varphi(1)=\operatorname{card}(\{x\in\Bbb{N}\mid x\leq 1\wedge\gcd(x,1)=1\})=|\{1\}|=1 \). Igualmente entiendo a que vas a que con la propiedad de la potencia no se puede saber \( \varphi(2^0) \).

Saludos

08 Diciembre, 2019, 01:40 am
Respuesta #15

manooooh

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Hola ingmarov, muchas gracias por tu ayuda

Viendo ahora tu último mensaje me ha quedado claro que:

\( \displaystyle \cdot\prod_{p_i\mid n}\left(1-\frac{1}{p_i}\right) \)

¿Puede ese producto ser igual a \( \frac{1}{2} \)?

No puede ser igual a \( 1/2 \) porque es producto de números naturales.

Saludos

08 Diciembre, 2019, 01:58 am
Respuesta #16

ingmarov

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Hola

\( \varphi(1)=1 \)

Mirar, primer párrafo

https://es.m.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%CF%86_de_Euler#Primeras_propiedades_y_c%C3%A1lculo_de_la_funci%C3%B3n



Hola ingmarov, muchas gracias por tu ayuda

Viendo ahora tu último mensaje me ha quedado claro que:

\( \displaystyle \cdot\prod_{p_i\mid n}\left(1-\frac{1}{p_i}\right) \)

¿Puede ese producto ser igual a \( \frac{1}{2} \)?

No puede ser igual a \( 1/2 \) porque es producto de números naturales.

Saludos

Ese producto es el producto de números racionales (menores que uno), pero en el caso de números pares como 102, ya tenemos en ese producto al factor 1/2 y al tener 102 más factores primos ese producto deberá resultar menor que 1/2.

\( \varphi(102)=102\left((1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{17})\right)=102\left(\dfrac{(2-1)(3-1)(17-1)}{102}\right)=102\bf \dfrac{32}{102} \)

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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08 Diciembre, 2019, 03:02 am
Respuesta #17

feriva

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\( \varphi(2^0)=\varphi(1)=\operatorname{card}(\{x\in\Bbb{N}\mid x\leq 1\wedge\gcd(x,1)=1\})=|\{1\}|=1 \). Igualmente entiendo a que vas a que con la propiedad de la potencia no se puede saber \( \varphi(2^0) \).

Saludos

Sí, que no se le puede aplicar la fórmula, vamos, eso es; no sabía bien cómo se definía phi de 1.

Tengo mucho sueño pero no me duermo... :D

Saludos.

08 Diciembre, 2019, 10:55 am
Respuesta #18

Luis Fuentes

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Hola

Me refiero a que si era necesario concluir que \( n \) ha de ser par, o por el contrario podríamos haber "atacado" al problema probando con potencias de \( 2 \). ¿Era necesario concluir que \( n \) debe ser par?

Tal como está enunciada la pregunta que te hacen hubiera bastado poner:

Verdadero, porque \( 100<128<200 \) y:

\( \varphi(128)=\varphi(2^9)=(2-1)2^8=64=\dfrac{128}{2} \)

Y la respuesta es impecable. Ahora es mucho mas enriquecedora la respuesta de ingmarov que incluye el razonamiento exhaustivo que lleva a deducir que uno sólo puede pretender encontrar el \( n \) buscado entre las potencias de dos.

Saludos.