Buenos días, manooooh.
Me mareo un poco
Aunque no fuera necesario ese lío, la explicación que di fue muy mala y no me quedo a gusto; dejo otra más formal.
Sea \( n\in\mathbb{N}
\); entonces pueden ocurrir tres casos a partir del Teorema Fundamental de la Aritmética:
Con \( (p_{i}=p_{1},p_{2},p_{3}...\neq2)\in\mathbb{P}
\) (sin orden particular; son algunos primos arbitrarios distintos o iguales);
casos
1º \( n=2^{k}
\)
2º \( n=p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i}
\)
3º \( n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i}
\).
Sea el 3º caso:
\( n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i}
\)
Entonces
\( \varphi(n)=\varphi(2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i})=(2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i})\cdot(1-\dfrac{1}{2})\cdot(1-\dfrac{1}{p_{1}})\cdot...(1-\dfrac{1}{p_{i}})\Rightarrow
\)
\( \exists m:\,\varphi(m)=\varphi(p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i})=(p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i})\cdot(1-\dfrac{1}{p_{1}})\cdot...\cdot(1-\dfrac{1}{p_{i}})
\):
Spoiler
Esa última afirmación es obvia; por definición. Pues si, por ejemplo, \( n=6
\), se tiene
\( \varphi(6)=2\cdot{\color{magenta}3}\cdot(1-\dfrac{1}{2}){\color{magenta}(1-\dfrac{1}{3})}
\)
entonces, necesariamente, ocurre \( \exists\varphi({\color{magenta}3}):\,\varphi({\color{magenta}3})={\color{magenta}3}\cdot{\color{magenta}(1-\dfrac{1}{3})}
\).
Ahora, supongamos: \( \varphi(n)=\varphi(2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i})=\dfrac{(2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}...\cdot p_{i})}{2}=\dfrac{n}{2}=2^{k-1}
\)
Podemos representar lo mismo así
\( \varphi(n)=(n)\cdot(1-\dfrac{1}{2})\cdot{\color{magenta}(1-\dfrac{1}{p_{1}})\cdot...\cdot(1-\dfrac{1}{p_{i}})}=\dfrac{n}{2}\Rightarrow
\)
\( {\color{magenta}(1-\dfrac{1}{p_{1}})\cdot...\cdot(1-\dfrac{1}{p_{i}})}=1
\).
Y entonces existe \( m=p_{1}\cdot...p_{i}
\) tal que
\( \varphi(m)=m\cdot{\color{magenta}(1-\dfrac{1}{p_{1}})\cdot...\cdot(1-\dfrac{1}{p_{i}})}=m\cdot{\color{magenta}1}=m
\)
Con lo que \( \varphi(m)=m
\). Lo cual, si lo analizas, quiere decir que hasta el propio “m” es coprimo con sí mismo (nadie lo divide) lo que es imposible salvo quizá si consideramos m=1.
Claro, en los casos “m” primo, al menos no es coprimo con sí mismo, y de ahí que la phi sea p-1.
Por ejemplo, si fuera \( \varphi{7}=7 \),, querría decir que los coprimos son 1,2,3,4,5,6... y 7; absurdo, pues \( mcd(7,7)=7 \)*(He intentado no equivocarme... pero nunca lo consigo, así que no sé; dime si estás de acuerdo, que llevo un mes que no estoy seguro ni de cómo me llamo)
Saludos.