Autor Tema: Derivadas

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01 Diciembre, 2019, 04:06 am
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kristhel

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Buenas noches .. por favor ayudeme a resolver este problema: :banghead:
Por medio de la definición de derivada, hallar el máximo de la función: \( 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐(𝟏𝟔 − 𝒙^𝟐) \)
Bosquejo de solución: La derivada de una función en un punto máximo o mínimo debe ser 0

01 Diciembre, 2019, 06:05 am
Respuesta #1

sugata

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El problema básico de este ejercicio es sacar la derivada por definición, y no por reglas conocidas.
La definición de derivada es un límite. ¿Qué problema tienes al calcularlo?

01 Diciembre, 2019, 10:23 am
Respuesta #2

feriva

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Buenas noches .. por favor ayudeme a resolver este problema: :banghead:
Por medio de la definición de derivada, hallar el máximo de la función: \( 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐(𝟏𝟔 − 𝒙^𝟐) \)
Bosquejo de solución: La derivada de una función en un punto máximo o mínimo debe ser 0

\( h\rightarrow0
  \):

\( f({\color{blue}x})={\color{blue}x}^{2}(16-{\color{blue}x}^{2})
  \)

\( f({\color{blue}x+h})=({\color{blue}x+h})^{2}(16-({\color{blue}x+h})^{2})\Rightarrow
  \)

...

\( \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\Rightarrow
  \)

\( \dfrac{({\color{blue}x+h})^{2}(16-({\color{blue}x+h})^{2})-{\color{blue}x}^{2}(16-{\color{blue}x}^{2})}{h}\Rightarrow
  \)

Esto opéralo así, multiplica por la distributiva el primer sumando

\( \dfrac{16({\color{blue}x+h})^{2}-({\color{blue}x+h})^{4}-{\color{blue}x}^{2}(16-{\color{blue}x}^{2})}{h}\Rightarrow
  \)

\( \dfrac{16({\color{blue}x+h})^{2}-({\color{blue}x+h})^{4}-16x^{2}+x^{4}}{h}
  \)

Ahora al desarrollar el primer paréntesis y al multiplicar todo por 16 te va a salir un \( 16x^{2}
  \) que se te va con el otro negativo; y al desarrollar el segundo paréntesis te sale un \( -x^{4}
  \) que también te cancela el otro. De esta forma todos los sumandos de quedan multiplicados por potencias de “h”; y ya sólo cancelas con el “h” del denominador y calculas haciendo h=0; y ahí ya tienes la cuenta de lo que es la derivada.

Ahora tienes que igualarla a cero y despejar "x". En ese valor puede haber un máximo o un mínimo; si la segunda derivada da negativa, entonces es un máximo.

Spoiler

Esto nunca se dice porque se supone que lo sabe todo el mundo, pero a lo mejor no es así y conviene recordarlo alguna vez, porque nunca lo recuerda nadie, que yo haya visto:

Para desarrollar cómodamente el binomio de grado cuatro y que no te sea pesado multiplicando paréntesis o hallando combinaciones, te dibujas un triángulo de Pascal

\(

\begin{array}{ccccccccc}
 &  &  &  & 1\\
 &  &  & 1 &  & 1\\
 &  & 1 &  & 2 &  & 1\\
 & 1 &  & 3 &  & 3 &  & 1\\
1 &  & 4 &  & 6 &  & 4 &  & 1
\end{array}
 

 \)

Se forma así: vas poniendo un 1 y debajo dos unos a los extremos hasta que tengas 4 filas debajo del primer 1 (porque en este caso el grado es 4). Después, debajo y en medio de los dos que están a cada lado arriba, escribes las sumas de ésos de arriba; así ves que si arriba hay un 1 y un 3, debajo y en medio de los dos, va un 4; si hay dos treses, va un seis... Es muy rápido de hacer para grados como 4, 5, 6..., mucho más rápido que multiplicar o hallar combinaciones.

La última fila, 1,4,6,4,1 van a ser los coeficiente por orden; es decir, según el binomio de Newton tenemos los sumandos ordenados así según sus potencias:

para \( (x+h)^{4}
  \) tomamos la potencia más alta,4, y se la ponemos a la x, y la más baja, cero, a la “h”; y después vamos aumentando la potencia de “h” y disminuyendo la de “x” sucesivamente; así:

\( x^{4}h^{0},x^{3}h^{1},x^{2}h^{2},x^{1}h^{3},x^{0}h^{4}
  \)

Como al elevar a cero es uno, queda \( x^{4},x^{3}h^{1},x^{2}h^{2},x^{1}h^{3},h^{4}
  \).

Y a ésos elementos les pones delante los coeficientes 1,4,6,4,1 del triángulo Pascal, en su orden, y sumas lo términos

\( x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}
  \)

\( (x+h)^{4}=x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}
  \).

De este modo, la única operación pesada que tiene este ejercicio, tampoco es pesada ya.

[cerrar]

Saludos.


01 Diciembre, 2019, 01:45 pm
Respuesta #3

kristhel

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Buenos Días.. pero me quede hasta eliminar h
32x  + 16h  - 4x^3 - 6x^2h - 4xh^2 - h^3 .. luego usted me indica que h=0 me podría ayudar.. disculpe me falta por aprender.. en eso estoy

01 Diciembre, 2019, 02:25 pm
Respuesta #4

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Si partes de donde te dejaron para que continues

\( \dfrac{df(x)}{dx}=\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{16({\color{blue}x+h})^{2}-({\color{blue}x+h})^{4}-16x^{2}+x^{4}}{h}= \)

Desarrollas los términos de los polinomios elevados las distintas potencias

\( \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{16(x^2+2hx+h^2)-(x^4+4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4)-16x^{2}+x^{4}}{h}= \)

\( \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\cancel{16x^2}+32hx+16h^2-\cancel{x^4}-4hx^3-6x^2h^2-4xh^3-h^4-\cancel{16x^2}+\cancel{x^{4}}}{h}= \)

\( \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{32hx+16h^2-4hx^3-6x^2h^2-4xh^3-h^4}{h}= \)

\( \displaystyle \lim_{h\to 0}\left(\dfrac{32hx}{h}+\dfrac{16h^2}{h}-\dfrac{4hx^3}{h}-\dfrac{6x^2h^2}{h}-\dfrac{4xh^3}{h}-\dfrac{h^4}{h}\right)= \)


Evalúa el Límite

\( \displaystyle \lim_{h\to 0}\left(\dfrac{32\cancel{h}x}{\cancel{h}}+\underbrace{\dfrac{16h^{\cancel{2}}}{\cancel{h}}}_{0}\right. \)\( \left.-\dfrac{4\cancel{h}x^3}{\cancel{h}}-\underbrace{\dfrac{6x^2h^2}{h}}_{0}-\underbrace{\dfrac{4xh^3}{h}}_{0}-\underbrace{\dfrac{h^4}{h}}_{0}\right)= \)


luego queda \( \dfrac{df(x)}{dx}=32x-4x^3 \)
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

01 Diciembre, 2019, 02:37 pm
Respuesta #5

feriva

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Buenos Días.. pero me quede hasta eliminar h
32x  + 16h  - 4x^3 - 6x^2h - 4xh^2 - h^3 .. luego usted me indica que h=0 me podría ayudar.. disculpe me falta por aprender.. en eso estoy

Llámame de tú; con confianza, que sólo tengo 61 años :)

Ya te lo ha desarrollado Richard; si tienes alguna duda más, pregunta tranquilamente lo que sea.

Saludos.

01 Diciembre, 2019, 06:56 pm
Respuesta #6

Juan Pablo Sancho

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Con en el numerador \(  (x+h)^2 \cdot (16-(x+h)^2) -x^2 \cdot (16-x^2) = 16 \cdot [(x+h)^2-x^2] -((x+h)^4 - x^4) =  \)
Usamos \( a^2-b^2 = (a-b) \cdot (a+b)  \)
 \(  = 16 \cdot [(x+h)^2 -x^2] -[(x+h)^2 - x^2] \cdot [(x+h)^2+x] = [(x+h)^2-x^2] \cdot [16 - ((x+h)^2 + x^2)]  \)

Tenemos que \( (x+h)^2 -x^2 = ((x+h)-x) \cdot ((x+h)+x)  = h \cdot (2x+h)  \).

El numerador queda:
\( h \cdot (2x+h) \cdot   [16 - ((x+h)^2 + x^2)]  \)