[Xtimmler]

Hola foro
Debo justificar porque la siguiente afirmación es falsa:

Sea \( V \) un \( K-E.V. \) Todo conjunto \( \left\{{v}\right\}\subset{V} \) es base de un subespacio de \( V \) de
dimensión 1.

Desde ya muchas gracias.

[feriva]

Hola foro
Debo justificar porque la siguiente afirmación es falsa:

Sea \( V \) un \( K-E.V. \) Todo conjunto \( \left\{{v}\right\}\subset{V} \) es base de un subespacio de \( V \) de
dimensión 1.

Desde ya muchas gracias.

Por ejemplo en \( \mathbb{R}^{3}
  \), un plano es un subespacio de dimensión 2 (sus vectores generan dimensión 1 pero no es base)

Saludos.

[robinlambada]

Hola:

Hola foro
Debo justificar porque la siguiente afirmación es falsa:

Sea \( V \) un \( K-E.V. \) Todo conjunto \( \left\{{v}\right\}\subset{V} \) es base de un subespacio de \( V \) de
dimensión 1.

Desde ya muchas gracias.

Entiendo que cuando dices "...es base de un subespacio de dimensión 1", te refieres a un subespacio concreto.

Entonces, basta coger dos vectores de una base del espacio vectorial ( ya que al menos es de dimensión 2).

Por definición de base , estos 2 vectores \( \vec{u_1} \) y  \( \vec{u_2} \) son linealmente independientes.

Si tomamos el subespacio de dimensión 1 tal que \( \vec{u_1} \) pertenece a este subespacio, es evidente que \( \vec{u_2} \) no puede ser base de este subespacio.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( V \) un \( K-E.V. \) Todo conjunto \( \left\{{v}\right\}\subset{V} \) es base de un subespacio de \( V \) dedimensión 1.

Lo que dice esta afirmación es que dado un vector \( v \) cualquiera de un espacio vectorial \( V \), siempre es base de algún subespacio vectorial de dimensión uno.

Por ejemplo en \( \mathbb{R}^{3}
  \), un plano es un subespacio de dimensión 2 (sus vectores generan dimensión 1 pero no es base)

Eso no tiene nada que ver con la afirmación del enunciado. Por tanto no justifica que es falsa.

Entiendo que cuando dices "...es base de un subespacio de dimensión 1", te refieres a un subespacio concreto.

No me parece una interpretación razonable. Cuando se dice es base de un subespacio, lo usual es entender de "algún" subespacio, no de uno concreto. Si fuese uno concreto el enunciado más lógico sería decir en algún momento, "fijado un subespacio tal...".

La afirmación es falsa porque si \( \vec v=\vec 0 \), no es base de ningún subespacio de dimensión \( 1 \).

Saludos.

[feriva]

Hola, Luis.

Por ejemplo en \( \mathbb{R}^{3}
  \), un plano es un subespacio de dimensión 2 (sus vectores generan dimensión 1 pero no es base)

Eso no tiene nada que ver con la afirmación del enunciado. Por tanto no justifica que es falsa.

Lo había entendido mal, pero, ahora, con la traducción que has hecho del formalismo del enunciado ya sí veo lo que quiere decir.

Muchas gracias, saludos.

[Xtimmler]

La afirmación es falsa porque si \( \vec v=\vec 0 \), no es base de ningún subespacio de dimensión \( 1 \).

Ya me confundi un poco con las respuestas que entendieron mal el enunciado, entonces en resumen si pongo de contraejemplo que \( \vec v=\vec 0 \) ¿ya es suficiente?

Y otra duda que me surgió de esto si pongo el mismo enunciado pero especificó que \( \vec v\neq{=}\vec 0 \) entonces ¿sería verdadero?

Saludos.

[feriva]

La afirmación es falsa porque si \( \vec v=\vec 0 \), no es base de ningún subespacio de dimensión \( 1 \).

Ya me confundi un poco con las respuestas que entendieron mal el enunciado, entonces en resumen si pongo de contraejemplo que \( \vec v=\vec 0 \) ¿ya es suficiente?

Y otra duda que me surgió de esto si pongo el mismo enunciado pero especificó que \( \vec v\neq{=}\vec 0 \) entonces ¿sería verdadero?

Saludos.

Siento haberte confundido; te explico lo que entendí mal, confundí esto {v} con un conjunto de varios vectores y no es así, es unitario.

Pero no queda duda de lo que es con la aclaración de Luis, fíajte:

“Lo que dice esta afirmación es que dado un vector \( v \), cualquiera de un espacio vectorial V, siempre es base de algún subespacio vectorial de dimensión uno”.

Con lo que eso es verdad  excepto para el vector cero, y al no ser general, la afirmación del enunciado es falsa.

Saludos

[robinlambada]

Entiendo que cuando dices "...es base de un subespacio de dimensión 1", te refieres a un subespacio concreto.

No me parece una interpretación razonable. Cuando se dice es base de un subespacio, lo usual es entender de "algún" subespacio, no de uno concreto. Si fuese uno concreto el enunciado más lógico sería decir en algún momento, "fijado un subespacio tal...".

La afirmación es falsa porque si \( \vec v=\vec 0 \), no es base de ningún subespacio de dimensión \( 1 \).

Saludos.

En todo caso lo cortés no quita lo valiente, y tu solución es más general.
Saludos.