Autor Tema: Comprobar si es subespacio vectorial

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27 Noviembre, 2019, 04:53 pm
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Luis Fuentes

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Hola

 Propongo este problema, en principio bastante rutinario, de estudiar si un conjunto es subespacio vectorial de otro.

 Tiene como objetivo hacer una determinado matiz respecto a este tipo de comprobaciones. Está destinado a estudiantes y no a gente curtida en mil batallas.  ;)

 Ejercicio. Decidir razonadamente si \( U=\{(x,y)\in \Bbb R^2|5x^2-2xy+y^2=0\} \) es subespacio vectorial de \( \Bbb R^2. \)

Saludos.

 

27 Noviembre, 2019, 04:59 pm
Respuesta #1

sugata

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Cuando llegue a casa lo intento, que el tema subespacios lo tengo un poco oxidado.

13 Febrero, 2020, 02:14 am
Respuesta #2

Masacroso

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A ver

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La condición es equivalente a \( 4x^2+(x-y)^2=0 \), lo que implica que \( x-y=x=0 \), por tanto \( U=\{(0,0)\} \), que es un espacio vectorial. Creo que he fallado el punto del ejercicio ya que no he razonado nada, más bien he aplicado un poco de álgebra.
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13 Febrero, 2020, 01:05 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

A ver

Spoiler
La condición es equivalente a \( 4x^2+(x-y)^2=0 \), lo que implica que \( x-y=x=0 \), por tanto \( U=\{(0,0)\} \), que es un espacio vectorial. Creo que he fallado el punto del ejercicio ya que no he razonado nada, más bien he aplicado un poco de álgebra.
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Es correcto. El ejercicio viene a cuento por lo siguiente. Voy a poner otros ejemplos.



1) Decidir razonadamente si \( U=\{(x,y)\in \Bbb R^2|x-2y=0\} \) es subespacio vectorial de \( \Bbb R^2. \)

La formas estandar de contestar es:

i) Es no vacío por que contiene al vector cero \( (0,0) \), ya que \( 0-2\cdot 0=0 \).

ii) Veamos que si \( (x,y),(x',y')\in U \) y \( a,b\in \Bbb R \) entonces \( a(x,y)+b(x',y')\in U \).

Que \( (x,y),(x',y')\in U \) significa que \( x-2y=x'-2y'=0 \).
Comprobamos si  \( a(x,y)+b(x',y')=(ax+bx',ay+by')\in U \)

\( ax+bx'-2(ay+by')=a(x-2y)+n(x'-2y')=a\cdot 0+b\cdot 0=0 \)

y por tanto cumple la condición,  \( a(x,y)+b(x',y')\in U \) y SI es subespacio.



2) Decidir razonadamente si \( U=\{(x,y)\in \Bbb R^2|x-y^2=0\} \) es subespacio vectorial de \( \Bbb R^2. \)

La formas estandar de contestar es:

i) Es no vacío por que contiene al vector cero \( (0,0) \), ya que \( 0-0^2=0 \).

ii) Veamos si \( (x,y),(x',y')\in U \) y \( a,b\in \Bbb R \) entonces \( a(x,y)+b(x',y')\in U \).

Que \( (x,y),(x',y')\in U \) significa que \( x-y^2=x'-y'^2=0 \).
Comprobamos si  \( a(x,y)+b(x',y')=(ax+bx',ay+by')\in U \)

\( ax+bx'-(ay+by')^2=a(x-y^2)+b(x'-by^2)^2-2abyy'=b(x'-by^2)^2-2abyy'\neq 0 \)

Y aquí viene el matiz. Mucha gente termina. "Por tanto NO cumple la condición y NO es subespacio" y les digo que NO. Deben de dar un ejemplo concreto donde falle la propiedad. Donde se vea que esa igualdad no es cero.



Entonces el tercer ejemplo, que es el que puse es:

3) Decidir razonadamente si \( U=\{(x,y)\in \Bbb R^2|5x^2-2xy+y^2=0\} \) es subespacio vectorial de \( \Bbb R^2. \)

La formas estandar de contestar es:

i) Es no vacío por que contiene al vector cero \( (0,0) \), ya que \( 5\cdot 0^2-2\cdot 0\cdot 0+0^2=0 \).

ii) Veamos si \( (x,y),(x',y')\in U \) y \( a,b\in \Bbb R \) entonces \( a(x,y)+b(x',y')\in U \).

Que \( (x,y),(x',y')\in U \) significa que \( 5x^2-2xy+y^2=5x'^2-2x'y'+y'^2=0 \).
Comprobamos si  \( a(x,y)+b(x',y')=(ax+bx',ay+by')\in U \)

\( 5(ax+bx')^2-2(ax+bx')(ay+by')+(ay+by')^2=\\=
a^2(5x^2-2xy+y^2)+b^2(5x'^2-2x'y'+y'^2)+10abxx'-2abxy'-2abx'y+2abyy'=\\=10abxx'-2abxy'-2abx'y+2abyy'\neq 0 \)

Y muchos dicen.. no da cero. ¡No es subespacio!. ¡Y aquí si lo es!. Y por eso es importante dar el ejemplo concreto de que esa propiedad falla.

Saludos.

13 Febrero, 2020, 02:28 pm
Respuesta #4

sugata

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Cuando llegue a casa lo intento, que el tema subespacios lo tengo un poco oxidado.

Perdona Luis, le eché un ojo, pero estaba más oxidado de lo que pensaba.
Miraré bien los ejemplos que has puesto.