[Marcos Castillo]

Hola, esta cita del libro de texto ha evidenciado mi desconocimiento de las integrales por una parte y creo que una errata del libro. Cito:



"La figura 6.11 (adjunta) muestra un bloque conectado a un muelle sobre una superficie horizontal cuyo rozamiento es despreciable. Si el muelle se comprime o estira, el muelle ejerce una fuerza sobre el bloque. Recuérdese que la fuerza ejercida por el muelle sobre el bloque viene dada por la ecuación 4.7, es decir
\( F_x=-kx \) (ley de Hooke; ecuación 6.11)
Donde \( k \) es una constante positiva y \( x \) es el alargamiento del muelle. Si el muelle se alarga entonces \( x \) es positivo y la componente \( F_x \) es negativa. Si el muelle se comprime, entonces \( x \) es negativa y la componente \( F_x \) es positiva.
Como la fuerza varía con \( x \) podemos utilizar la ecuación 6.10 (TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE-MOVIMIENTO RECTILÍNEO: \( W=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}F_x \)=área bajo la curva de \( F_x \) en función de \( x \)) para calcular el trabajo realizado por la fuerza del muelle sobre el bloque cuando éste realiza un desplazamiento desde \( x=x_1 \) hasta \( x=x_f \). (Además de la fuerza del muellehay otras dos fuerzas que actúan sobre el bloque: la fuerza de la gravedad, \( m\vec{\mathbf{g}} \), y la fuerza normal de la superficie, \( \vec{\mathbf{F}}_n \). Sin embargo, ninguna de ellas tiene componente en la dirección del desplazamiento. La única fuerza que realiza trabajo sobre el bloque es la fuerza del muelle.) Sustituyendo \( F_x \) de la acuación 6.11 en la ecuación 6.10, obtenemos
\( W_{\mbox{muelle}}=\displaystyle\int_{x_i}^{x_f}F_xdx=\displaystyle\int_{x_i}^{x_f}(-kx)=-k\displaystyle\int_{x_i}^{x_f}xdx=-k\left(\dfrac{x_f^2}{2}-\dfrac{x_i^2}{2}\right) \)(ecuación 6.12)
que reagrupando da:
TRABAJO REALIZADO POR UN MUELLE: \( W_{\mbox{muelle}}=\frac{1}{2}kx_i^2-\frac{1}{2}kx_f^2 \)(ecuación 6.13).
La integral de la ecuación 6.12 se puede calcular utilizando la geometŕia a fin de calcular el área bajo la curva (figura 6.12a adjunta). Esto da
\( W_{\mbox{muelle}}=A_1+A_2=|A_1|-|A_2|=\dfrac{1}{2}kx_f^2-\frac{1}{2}kx_i^2 \) que es idéntica a la ecuación 6.13."
Las dudas son:
1- \( W_{\mbox{muelle}}=A_1+A_2=|A_1|-|A_2|=\dfrac{1}{2}kx_f^2-\frac{1}{2}kx_i^2 \) es opuesta a 6.13.
2- Al expresar \( W_{\mbox{muelle}}=A_1+A_2=|A_1|-|A_2| \): la integral es el sumatorio de las áreas, que será positiva si está por encima del eje de las \( x \) y negativo si el área se encuentra debajo del eje de las \( x \); todo en su valor absoluto. Ésto está correcto, ¿verdad?.



Un saludo

[Richard R Richard]

La ambigüedad de la fórmula , es un tanto confusa,

Siempre te conviene pensar que un muelle comprimido o bien estirado, tiene energía potencial para aportar al sistema, la energía potencial tiene un mínimo cuando \( x=0 \) (equilibrio) luego tanto si vas para las \( -x \) o para  las \( +x \) la energía potencial aumenta.

El área debajo de la curva representa el trabajo realizado por el muelle, es el área por encima del 0 menos el área por debajo del 0 .... que significa esto que cuando el muelle pasa por el 0 ha realizado el máximo trabajo, \( \frac 12kx_i^2 \) pero si sigue avanzando, comienza a aculular energía potencial, por lo tanto el trabajo que realiza comienza a disminuir.

si observas cuando \( x_f=-x_i \) ha vuelto a completar su energía potencial, la misma que tenia cuando estaba a \( x_i \) del punto de equilibrio., solo que ahora si se libera el sistema, aportara el potencial moviendo la masa en sentido contrario...

En condiciones ideales si la energía mecánica se conserva \( E_m=E_0=cte \) o \( \Delta E_m=\Delta E_{pe}+W=0 \) entonces \( \Delta E_{pe}=-W \) que es lo que te vengo exponiendo, si al muelle sin estirar o en equilibrio con \( E_{p0}=E_0 \) pues  tiene el mínimo de energía mecánica también,  lo estiras e incrementas su energía potencial a \( E_{pf} \)  entonces su variacion \( \Delta E_{pe}=E_{pf}-E_{p0} \) es decir le aportas al sistema un trabajo \( -W \) ya que vas en contra de la fuerza del resorte, entonces acumulas energía potencial positiva \( \Delta E_{pe} \) dandose que \( \Delta E_{pe}--W=0 \) y cuando liberas el resorte y este actúa sobre el sistema, su energía potencial disminuye \( \Delta E_{pe}<0 \) y el trabajo que realiza aumenta \( W>0 \), el trabajo es máximo cuando \( W=-\Delta E_{pe} \) es decir cuando \( E_{p0}=E_0 \) en el equilibrio.

[Marcos Castillo]

Hola, Richard R Richard
¿\( \frac{1}{2}kx_i^2-\frac{1}{2}kx_f^2=\dfrac{1}{2}kx_f^2-\dfrac{1}{2}kx_i^2 \)?
Entonces \( W_{\mbox{muelle}}=0 \). Por lo tanto la errata es el dibujo 6.12(a), en el que un área es mayor que la otra, \( A_1>A_2 \). Tiene que ser así. O bien que hay que interpretar el conjunto sin rigidez 
Un saludo

[feriva]

Hola, Marcos.

No te compliques con el dibujito. Esas áreas son abstractas, matemáticas, no existen más que como concepto.

Esto es en esencia como cuando tienes la energía potencial de un cuerpo suspendido a cierta altura “h”, \( mgh
  \) y, por otra parte, la energía si lo dejas caer y llega al suelo, \( \dfrac{1}{2}mv_{f}^{2}
  \). Puesto que, si parte del reposo, \( v_{f}^{2}
  \) es \( v_{f}^{2}=2gh
  \), te queda que las dos son iguales.

Del mismo modo, cuando el muelle esta estirado (esperando a que lo suelten) tiene una energía que es análoga a “mgh” y, cuando se suelta y llega al tope (o las dedos, si te los pilla) tiene una energía análoga a \( \dfrac{1}{2}mv_{f}^{2}
  \). Simplemente, aquí no tienes “g” y “-g”, tienes “k” y “-k” y una expresión un poco diferente, pero la idea es similar, no hace falta imaginarse áreas de un terreno físico que no existe.

Saludos.

[Marcos Castillo]

¡Muchas gracias, feriva, Richard R Richard!
Un saludo

[Richard R Richard]

¿\( \frac{1}{2}kx_i^2-\frac{1}{2}kx_f^2=\dfrac{1}{2}kx_f^2-\dfrac{1}{2}kx_i^2 \)?
Entonces \( W_{\mbox{muelle}}=0 \). Por lo tanto la errata es el dibujo 6.12(a), en el que un área es mayor que la otra, \( A_1>A_2 \).

El trabajo es un aporte de energía al sistema, ya sea se convierta en energía potencial o cinetica, cuando el muelle aporta trabajo si energía potencia se reduce,

Si hablamos de condiciones ideales donde la energía mecánica se conserva, t, entonces todo aporte de trabajo  realizado por el muelle se convertirá en otro tipo de energía como la cinetica, la potencial gravitatoria etc...

si \( |x_i|=|x_f| \) el trabajo es nulo, Porque , por que la variación de la energía potencial del muelle es nula, , si pasas de la situación de estar comprimido hasta \( x_i \) y luego pasas a estar estirado  en \(  x_f \)  si los módulos son iguales , el muelle pasó de tener \( E_p=\frac12 kx_i^2 \) a tener  \( 0 \) justo cuando pasa por el equilibrio  y llega luego a tener en \( x_f=-x_i \)  la energía potencial  \( E_p=\frac12 kx_f^2=\frac12 k(-x_i)^2=\frac12 kx_i^2 \) es decir no entrego trabajo y conservó su energía potencial...

Si analizas la situación en el punto de equilibrio

\( W=\Delta E_{Pe}=0-\frac12 kx_i^2 \)

pero si la energía mecánica se conserva , habrá alguna otra energía que cambie

\( \Delta E_m=0=\Delta E_{Pe}+\Delta E_{Pg}+\Delta E_{c}+\Delta E_{cr} \)

es decir por el punto de equilibrio pasará a cierta velocidad, y/o estará en un punto mas o menos elevado, y/o llevara cierta velocidad de rotación...etc

Y sí... cuando los módulos son iguales las áreas deben ser similares en tamaño, pero invertidas

[Marcos Castillo]

¡Muchas gracias, Richard R Richard!
Un saludo