Autor Tema: Ejercicio de haz de plano

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24 Noviembre, 2019, 08:38 pm
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enano

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Buenas tardes, quisiera solicitar ayuda con la siguiente actividad:

Del haz generado por los planos \( 4x-y+3z-2=0 \) y \( -2x+3y-z+1=0 \) encuentre el o los miembros que sean paralelos al plano de la ecuación \( x+3y-z+1=0 \)

No tengo ningún avance...

24 Noviembre, 2019, 08:50 pm
Respuesta #1

Bobby Fischer

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Hola,

Considera el haz: \( \alpha (4x-y+3z-2)+\beta(-2x+3y-z+1)=0 \)

Desarrolla: \( (4\alpha-2\beta)x+(-\alpha+3\beta)y+(3\alpha-\beta)z-2\alpha+\beta=0 \)

Si los planos son paralelos, las normales lo son:

\( \left[\begin{array}{ccc}{4\alpha-2\beta}\\{-\alpha+3\beta}\\{3\alpha-\beta}\end{array}\right]=\lambda \left[\begin{array}{ccc}{1}\\{3}\\{-1}\end{array}\right] \)

Un sistema de ecuaciones que sale incompatible. Luego no existe ningún plano del haz que sea paralelo al dado.

Saludos.

24 Noviembre, 2019, 09:30 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Considera el haz: \( \alpha (4x-y+3z-2)+\beta(-2x+3y-z+1)=0 \)

Desarrolla: \( (4\alpha-2\beta)x+(-\alpha+3\beta)y+(3\alpha-\beta)z-2\alpha+\beta=0 \)

Si los planos son paralelos, las normales lo son:

\( \left[\begin{array}{ccc}{4\alpha-2\beta}\\{-\alpha+3\beta}\\{3\alpha-\beta}\end{array}\right]=\lambda \left[\begin{array}{ccc}{1}\\{3}\\{-1}\end{array}\right] \)

Un sistema de ecuaciones que sale incompatible. Luego no existe ningún plano del haz que sea paralelo al dado.

Sólo un matiz; el sistema no sale incompatible sino compatible determinado con única solución la trivial \( \alpha=\beta=\lambda=0 \); con lo que igualmente se concluye que no existe el plano buscado.

Supongo que tu decías incompatible, porque tomabas como incógnitas \( \alpha,\beta \) y \( \lambda \) como un parámetro del cual depende el término independiente. Pero aun en ese caso para \( \lambda=0 \) el sistema es compatible.

Saludos.

24 Noviembre, 2019, 10:05 pm
Respuesta #3

enano

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no comprendo, resolví la matriz 3x2 por gauss-jordan y la tercer fila me queda de ceros, por lo tanto no debería ser compatible indeterminado?

24 Noviembre, 2019, 10:14 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

no comprendo, resolví la matriz 3x2 por gauss-jordan y la tercer fila me queda de ceros, por lo tanto no debería ser compatible indeterminado?

Si sólo tomas la matriz \( 3\times 2 \), estás tomando la matriz del sistema, pero no la matriz ampliada (añadiendo la columna de términos independientes).

Para que el sistema sea compatible el rango de la matriz del sistema tiene que coincidir con el rango de la matriz ampliada.

Saludos.

24 Noviembre, 2019, 10:21 pm
Respuesta #5

Bobby Fischer

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Los planos que generan el haz son el rojo y el verde. El otro plano es el amarillo.



Saludos.

24 Noviembre, 2019, 10:53 pm
Respuesta #6

Bobby Fischer

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Hola

Sólo un matiz; el sistema no sale incompatible sino compatible determinado con única solución la trivial \( \alpha=\beta=\lambda=0 \); con lo que igualmente se concluye que no existe el plano buscado.

Supongo que tu decías incompatible, porque tomabas como incógnitas \( \alpha,\beta \) y \( \lambda \) como un parámetro del cual depende el término independiente. Pero aun en ese caso para \( \lambda=0 \) el sistema es compatible.

Saludos.

Sí, me equivoqué. Ha sido una de esas veces que con un razonamiento falso se llega a una conclusión cierta.

Se daba la casualidad de que \( \alpha \) y \( \beta \) no podían ser \( 0 \) simultáneamente y además \( \lambda\neq 0 \), por lo tanto \( \left[\begin{array}{ccc}{\alpha}\\{\beta}\\{\lambda}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{0}\\{0}\\{0}\end{array}\right] \) es solución del sistema pero no es solución válida.

No debo fallar en cosas fáciles.

Gracias,

Saludos.

26 Noviembre, 2019, 04:54 pm
Respuesta #7

enano

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Hola

Considera el haz: \( \alpha (4x-y+3z-2)+\beta(-2x+3y-z+1)=0 \)

Desarrolla: \( (4\alpha-2\beta)x+(-\alpha+3\beta)y+(3\alpha-\beta)z-2\alpha+\beta=0 \)

Si los planos son paralelos, las normales lo son:

\( \left[\begin{array}{ccc}{4\alpha-2\beta}\\{-\alpha+3\beta}\\{3\alpha-\beta}\end{array}\right]=\lambda \left[\begin{array}{ccc}{1}\\{3}\\{-1}\end{array}\right] \)

Un sistema de ecuaciones que sale incompatible. Luego no existe ningún plano del haz que sea paralelo al dado.

Sólo un matiz; el sistema no sale incompatible sino compatible determinado con única solución la trivial \( \alpha=\beta=\lambda=0 \); con lo que igualmente se concluye que no existe el plano buscado.

Supongo que tu decías incompatible, porque tomabas como incógnitas \( \alpha,\beta \) y \( \lambda \) como un parámetro del cual depende el término independiente. Pero aun en ese caso para \( \lambda=0 \) el sistema es compatible.

Saludos.

Entonces para la matriz ampliada tengo que agregar dos columnas.. una seria para 1, 3, -1 y la otra de ceros. Es correcto?

26 Noviembre, 2019, 06:15 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Entonces para la matriz ampliada tengo que agregar dos columnas.. una seria para 1, 3, -1 y la otra de ceros. Es correcto?

No. Veamos, si consideras que las incógnitas de tu ecuación son \( \alpha,\beta \) (se puede considerar sin pérdida de generalidad que \( \lambda\neq 0 \)),  la matriz del sistema y ampliada serían respectivamente:

\( \begin{pmatrix}4&-2\\-1&3\\3&-1\\\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}4&-2&1\\-1&3&3\\3&-1&-1\\\end{pmatrix} \)

Si consideras que \( \lambda \) es incógnita tienes el sistema:

\( 4\alpha-2\beta-\lambda=0 \)
\( -\alpha+3\beta-3\lambda=0 \)
\( 3\alpha-1\beta+\lambda=0 \)

Es un sistema homogéneo. La matriz del sistema es:

\( \begin{pmatrix}4&-2&-1\\-1&3&-3\\3&-1&+1\\\end{pmatrix} \)

No suele hablarse de ampliada para sistemas homogéneos porque no aporta nada (la ampliada sería añadir una columna de ceros). El sistema siempre es compatible y aquí la cuestión es el rango de la matriz del sistema. Si coincide con el número de incógnitas la única solución es la trivial (la nula). En otro caso hay infinitas soluciones.

Saludos.

26 Noviembre, 2019, 06:39 pm
Respuesta #9

feriva

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Hola, luis; una consulta sobre el problema.

Spoiler

Tomamos la ecuación del haz de planos que había puesto Bobby Fischer; se puede dividir por uno de los escalares y así queda más fácil

\( (4x-y+3z-2)+\dfrac{\beta}{\alpha}(-2x+3y-z+1)=0
  \)

\( \dfrac{\beta}{\alpha}=\mu
  \)

\( (4x-y+3z-2)+\mu(-2x+3y-z+1)=0
  \)

\( (4-2\mu)x+(-1+3\mu)y+(3-\mu)z+(-2+\mu)=0
  \)

Los coeficientes de x,y,z dan representantes de los vectores normales a los planos:

\( v_{1}=(4-2\mu),(-1+3\mu),(3-\mu)
  \)

(aquí está la duda: entiendo que al no estar en función de dos parámetros, no es un vector genérico en este caso, pero sí representa a algún vector normal de cada plano, ¿es así?).

Si es así, ya seguiría de forma corriente:



Por lo mismo, un vector normal al plano que dan, \(  x+3y-z+1=0
  \), es el formado por sus coeficientes: \(  (1+3-1)
  \); si los planos son paralelos, los vectores perpendiculares a ellos también.

Tomando entonces el vector \(  \lambda(1+3-1)=(\lambda,3\lambda,-\lambda)
  \), si es paralelo al otro, al igualarlos coordenada a coordenada, tiene que existir lambda distinto de cero.

El sistema será

\(  2\mu+\lambda=4
  \)

\(  3\mu-3\lambda=1
  \)

\(  -\mu+\lambda=-3
  \)

Y, por ejemplo, restando la tercera ecuación a la primera

\(  3\mu=7\Rightarrow\mu=\dfrac{7}{3}
  \),

sustituyendo en la última

\(  \lambda=-3+\dfrac{7}{3}=\dfrac{-2}{3}
  \),

basta sustituir el valor de las variables en la segunda para ver que es incompatible.

\(  7+2\neq1
  \).

No existirían.

¿Es correcto, o eso de los representantes no funciona así?

[cerrar]

Saludos.

26 Noviembre, 2019, 07:27 pm
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

Tomamos la ecuación del haz de planos que había puesto Bobby Fischer; se puede dividir por uno de los escalares y así queda más fácil

\( (4x-y+3z-2)+\dfrac{\beta}{\alpha}(-2x+3y-z+1)=0
  \)

\( \dfrac{\beta}{\alpha}=\mu
  \)

\( (4x-y+3z-2)+\mu(-2x+3y-z+1)=0
  \)

No he comprobado las cuentas al detalle, pero esencialmente la idea es correcta con un único matiz.

Es típico hacer el cambio que dices para manipular el haz de plano son un sólo parámetro. Uno tiene que ser consciente simplemente de que así se está dejando fuera un plano del haz: el que aparece cuando \( \alpha=0 \), o lo que es lo mismo, el plano en tu caso \( -2x+3y-z+1 \).

De esta forma si tal plano fuese precisamente la solución al problema, así no la encontraríamos. Por ejemplo si nos pidiesen un plano paralelo a \( 4x-6y+2z+15=0 \), con esa simplificación que has hecho no te saldría. La solución es precisamente el plano  \( -2x+3y-z+1 \).

Saludos.

26 Noviembre, 2019, 07:39 pm
Respuesta #11

feriva

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Hola

Tomamos la ecuación del haz de planos que había puesto Bobby Fischer; se puede dividir por uno de los escalares y así queda más fácil

\( (4x-y+3z-2)+\dfrac{\beta}{\alpha}(-2x+3y-z+1)=0
  \)

\( \dfrac{\beta}{\alpha}=\mu
  \)

\( (4x-y+3z-2)+\mu(-2x+3y-z+1)=0
  \)

No he comprobado las cuentas al detalle, pero esencialmente la idea es correcta con un único matiz.

Es típico hacer el cambio que dices para manipular el haz de plano son un sólo parámetro. Uno tiene que ser consciente simplemente de que así se está dejando fuera un plano del haz: el que aparece cuando \( \alpha=0 \), o lo que es lo mismo, el plano en tu caso \( -2x+3y-z+1 \).

De esta forma si tal plano fuese precisamente la solución al problema, así no la encontraríamos. Por ejemplo si nos pidiesen un plano paralelo a \( 4x-6y+2z+15=0 \), con esa simplificación que has hecho no te saldría. La solución es precisamente el plano  \( -2x+3y-z+1 \).

Saludos.

Entiendo; me ha salido medio por lotería.

Muchas gracias, Luis.