Autor Tema: Ejercicio Dinámica de un Cuerpo Rígido.

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24 Noviembre, 2019, 08:30 am
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iannuevo

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Hola, necesito ayuda con un ejercicio que no se como resolver.

Tengo el siguiente dibujo. El sistema se deja en libertad partiendo del reposo.



(Hay Tensiones en la cuerda por parte de ambas poleas, tienen igual Radio e igual masa M. Vamos a llamar al centro de la polea fija al techo O)

1- Se conserva el impulso angular L del sistema de referencia del punto O? 

2- Expresar la velocidad angular cuando el Centro de Masa de la polea móvil haya bajado una distancia H desde su posición inicial.

Para lo primero me imagino que tengo que demostrar que el momento de cada polea va a dar 0 en total, o sea el producto de las fuerzas por sus distancias darán 0, de forma que por ende el impulso angular sería una constante y se conservaría.  Pero no se como hayar la ecuación del momento de las poleas.

Y para el segundo creo que habría que hacer las ecuaciones de la Energía Mecánica Inicial y Final, y luego igualarlas pues se conserva (esto serviría porque podemos usar en la expresión de la Energía Mecanica Final, la Energía Cinética que contiene la velocidad angular que es lo que busco). Pero nuevamente, no estoy sabiendo como plantear tales ecuaciones. Escuche por ahí que también debo usar vínculos, pero eso ya no se como meterlo en el ejercicio.

Espero puedan ayudarme, desde ya muchas gracias.

24 Noviembre, 2019, 11:57 am
Respuesta #1

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Tengo el siguiente dibujo. El sistema se deja en libertad partiendo del reposo.



Para lo primero me imagino que tengo que demostrar que el momento de cada polea va a dar 0 en total, o sea el producto de las fuerzas por sus distancias darán 0, de forma que por ende el impulso angular sería una constante y se conservaría.  Pero no se como hallar la ecuación del momento de las poleas.

En realidad lo que se conserva el momento angular total, ya que la resultante es la suma de los pesos y pasa por el punto O, pero no se conserva en momento angular individual

\( \vec L=\vec L_1+\vec L_2 =\vec 0 \)

entonces

\( \vec L_1=-\vec L_2 \)

para calcular \( \vec L_1 \) recurres a la definición de momento angular \( L_1=\vec r_1\times m_1\vec v_1 \)  o su modulo \( L_1=mr_1v_1=mr_1\omega_1^2 \) para el instante que quieras...




Y para el segundo creo que habría que hacer las ecuaciones de la Energía Mecánica Inicial y Final, y luego igualarlas pues se conserva (esto serviría porque podemos usar en la expresión de la Energía Mecanica Final, la Energía Cinética que contiene la velocidad angular que es lo que busco). Pero nuevamente, no estoy sabiendo como plantear tales ecuaciones. Escuche por ahí que también debo usar vínculos, pero eso ya no se como meterlo en el ejercicio.

Exacto se hace ese modo

Tomas un cero de referencia, para la energía potencial
Calculas la  energía potencial de las ruedas , una es constante, y la otra desciende proporcional a la altura. \( E_p=mg\Delta h=mg(h-h_o) \)

la energía cinetica consta de dos partes, la energia cinetica de traslación, \( E_c=\frac12mv^2 \) una será cero la otra no
y la energía cinetica de rotacion \( E_{cr}=\frac12 I\omega^2 \) que tendrá el mismo valor para ambas poleas y donde I es el momento de Inercia de una polea (idealmente un disco plano) por el eje de su centro de rotación, que se calcula así  resultando \( I=\frac12mr^2 \)

Luego tienes que tener en cuenta que en todo momento la velocidad que la velocidad con que sale cuerda de la polea 1 es \( \omega r \) y también lo es la de la polea 2 por lo que la velocidad de traslación de la polea que desciende es \( v=\omega r+\omega r=2\omega r \)

con eso tienes todas las relaciones que necesitas para resolver la ecuación que quieres plantear, continua y postea si llegas al resultado, o su tienes nuevas dudas.
 
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)