Autor Tema: Duda con solución de ecuación exponencial

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22 Noviembre, 2019, 06:48 pm
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thadeu

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Hola a todos en el foro.
Para \( x \) real hallar las soluciones de la ecuación. \( (\sqrt[ ]{3})^x-2^x+1=0 \)
la solución que presentan en las redes es

\( (\sqrt[ ]{3})^x-2^x+1=0 \)
\( (\sqrt[ ]{3})^x+1=2^x \)
\( (\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2})^x+(\displaystyle\frac{1}{2})^x=1 \)
\( (sen(60^\circ))^x+(cos(60^\circ))^x=1 \)
por lo tanto  \( x=2 \)

Bueno la duda que tengo es. ¿Si esta  solución es correcta?
según yo, si bien 2 es una solución pero no se puede concluir directamente de que es la única bajo el el supuesto que por identidad \( sen^2t+cos^2t=1 \)
que opinan? me  gustaría conocer puntos de vista.

22 Noviembre, 2019, 07:31 pm
Respuesta #1

Bobby Fischer

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Hola,

La solución, si existe, es única. ¿Por qué? Porque la función \( f(x)=a^x+b^x \) es inyectiva. Dada una \( y \) de la imagen, existe un único \( x \) tal que \( f(x)=y \).

¿Cómo probar que es inyectiva? Con la definición.

Sean \( x_1\neq x_2 \) puntos del dominio. Hay que probar que \( f(x_1)\neq f(x_2) \).

Si \( x_1 \) y \( x_2 \) son distintos, entonces hay uno menor que otro. Supongamos \( x_1<x_2 \).

\( f(x_1)=a^{x_1}+b^{x_1} \)

\( f(x_2)=a^{x_2}+b^{x_2} \)

Por la monotonía de la función exponencial, si \( x_1<x_2 \), entonces \( a^{x_1}<a^{x_2} \) y \( b^{x_1}<b^{x_2} \).

Sumando:  \( a^{x_1}+b^{x_1}<a^{x_2}+b^{x_2} \) y así: \( f(x_1)<f(x_2) \), es decir, \( f(x_1)\neq f(x_2) \).

Luego la función es inyectiva. Por ser inyectiva, dado un \( y \) de la imagen, existe un único \( x \) tal que \( f(x)=y \), luego la solución es única.

Saludos.

22 Noviembre, 2019, 07:45 pm
Respuesta #2

thadeu

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Hola Bobby Fischer,
Muy buena solucion y muchas gracias por compartirla
pero la duda que he consultado sigue pendiente.

22 Noviembre, 2019, 08:21 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Hola Bobby Fischer,
Muy buena solucion y muchas gracias por compartirla
pero la duda que he consultado sigue pendiente.

No entiendo del todo tu pregunta; Bobby Fischer ha demostrado que la solución es única (con un matiz que indico al final). Por tanto si encuentras una por el método que describiste en tu primer mensaje, completado con el argumento de Bobby Fischer se concluye que esa es la única.

No se si preguntas si es posible llegar la conclusión de la unicidad sin el argumento de Bobby Fischer; pero no me queda claro tu propuesta de argumento alternativo. Por si sólo el saber que se da la identidad:

\( sin^2(t)+cos(t)^2=1 \)

no es suficiente sino se argumenta de alguna manera que no hay un ángulo para el que quizá pueda darse para otro exponente (de hecho si lo hay, cuando el seno o el coseno vale \( 1 \)).

Y voy con el matiz respecto a lo que ha hecho Bobby Fischer:

Por la monotonía de la función exponencial, si \( x_1<x_2 \), entonces \( a^{x_1}<a^{x_2} \) y \( b^{x_1}<b^{x_2} \).

En realidad dado que las bases \( a,b \) son menores que uno, la exponencial es estrictamente monótona decreciente y así la desigualdad es en el otro sentido. Igualmente la idea funciona para probar la inyectividad.

Saludos.

23 Noviembre, 2019, 12:43 am
Respuesta #4

thadeu

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Hola Luis

No se si preguntas si es posible llegar la conclusión de la unicidad sin el argumento de Bobby Fischer; pero no me queda claro tu propuesta de argumento alternativo. Por si sólo el saber que se da la identidad:

\( sin^2(t)+cos(t)^2=1 \)

no es suficiente sino se argumenta de alguna manera que no hay un ángulo para el que quizá pueda darse para otro exponente (de hecho si lo hay, cuando el seno o el coseno vale \( 1 \)).

esa era exactamente la duda que tenia.
Pues  no me convencía el hecho de que a partir de tener  \( (sen(60^\circ{}))^x+(cos(60^\circ{}))^x=1 \) se concluya directamente que \( x=2 \) sin ningún argumento que lo justifique.

 

23 Noviembre, 2019, 10:16 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Pues  no me convencía el hecho de que a partir de tener  \( (sen(60^\circ{}))^x+(cos(60^\circ{}))^x=1 \) se concluya directamente que \( x=2 \) sin ningún argumento que lo justifique.

 ¿Ahora te ha quedado claro? La respuesta es que NO, sin ningún argumento extra no es suficiente decir que se conoce la relación trigonométrica entre seno y coseno.

 De hecho la solución me parece un poco forzada. Es decir por pura inspección uno podría decir que \( x=2 \) es solución (porque al fin y al cabo que tras manipular la ecuación se lleguen a unos valores que corresponden a seno y coseno del mismo ángulo, es también una conclusión por inspección y más enrevesada).

 Luego argumentar que la solución es única; más allá de que se escriba con más o menos detalle la justificación es muy rápida sin más que hacer notar la monotonía estricta de la exponencial.

Saludos.

23 Noviembre, 2019, 01:15 pm
Respuesta #6

Bobby Fischer

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Hola,

Por ser una ecuación trascendente, normalmente su solución se encuentra por métodos numéricos, basados en la iteración.

Lo siguiente es innecesario, pero ya que me entretuve con el método de la tangente, lo muestro aquí.

Código: [Seleccionar]
function[]=bobby_50(x_0,n,c) % bobby_50(0,10,1)
clc, close all  % MATLAB
a=-2;
b=7;
x=a:0.1:b;
y=3.^(x/2)-2.^x+c;
plot(x,y,'b')
hold on
plot([a,b],[0 0],'k--')
grid on

for k=1:n
    x_0
    x_ini=x_0;
    y_0=f(x_0,c);
    y_ini=y_0;
    m=fprima(x_0);
    x_0=x_0-y_0/m;
    plot([x_ini,x_0],[y_ini,0],'k')
    plot([x_0,x_0],[0,f(x_0,c)],'k--')
    plot(x_ini,y_ini,'o','color',[k/n,1-k/n,1-k/n],...
        'markerfacecolor',[k/n,1-k/n,1-k/n])
end

    function[y]=f(x,c)
        y=3.^(x/2)-2.^x+c;
    end

    function[y]=fprima(x)
        y=3^(x/2)*log(3)/2-2^x*log(2);
    end
end

Código: [Seleccionar]
x_0 =
     0
x_0 =
       6.9521
x_0 =
       5.6813
x_0 =
       4.4853
x_0 =
       3.4217
x_0 =
       2.5951
x_0 =
       2.1315
x_0 =
       2.0075
x_0 =
            2
x_0 =
            2
>>



Saludos.