Autor Tema: Completación del espacio L1 y Lp.

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09 Diciembre, 2019, 10:25 pm
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lindtaylor

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¿Es \( L^p(\mathbb{R}^n) \) la completación del espacio \( L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^p(\mathbb{R}^n) \) ?  Sé que \( L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^p(\mathbb{R}^n)  \) es denso en \( L^p(\mathbb{R}^n) \) con la norma \( |\cdot |_{p} \) para \( 1\leq p<\infty  \) pero no sé si es la  completación.
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09 Diciembre, 2019, 11:30 pm
Respuesta #1

Masacroso

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¿Es \( L^p(\mathbb{R}^n) \) la completación del espacio \( L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^p(\mathbb{R}^n) \) ?  Sé que \( L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^p(\mathbb{R}^n)  \) es denso en \( L^p(\mathbb{R}^n) \) con la norma \( |\cdot |_{p} \) para \( 1\leq p<\infty  \)pero no sé si es la  completación.

Si \( L^1\cap L^p \) es denso en \( L^p \) con la p-norma, entonces su clausura es el espacio \( L^p \), eso es lo que significa ser denso. Y \( L^p \) es completo.