Autor Tema: Definición integral de [texx]f[/texx] a partir de funciones simples.

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03 Noviembre, 2019, 02:11 pm
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Bobby Fischer

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Hola,

Sea \( s:X\mapsto [0,\infty) \) una función simple y \( E\subseteq{X} \).

Sean \( A_i=\{x\in X: s(x)=\alpha_i\} \)

\( \chi_E(x)=f(x)=\begin{cases}1 & \text{si} & x\in E\\
0 & \text{si} & x \notin E \end{cases} \)

\( s(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\alpha_i\, \chi_{A_i}(x)} \)

\( \displaystyle\int_{E}^{}s\, d\mu=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\alpha_i}\, \mu(A_i\cap E) \)

\( \displaystyle\int_{E}^{}{f\, d\mu}=sup\, \displaystyle\int_{E}^{}s\, d\mu=sup\, \displaystyle\sum_{i=1}^n{\alpha_i}\, \mu(A_i\cap E) \) (el supremo tomado sobre todas las funciones simples medibles \( s \) tales que \( 0\leq s\leq f \))

Mi duda es si \( X \) es un subconjunto abierto de \( \mathbb{R} \), la definición de \( \displaystyle\int_{E}^{}{f\, d\mu} \) sería \( \displaystyle\int_{E}^{}{f\, d\mu}=\displaystyle\lim_{n \to{}\infty} sup\, \displaystyle\int_{E}^{}s\, d\mu=\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}sup\, \displaystyle\sum_{i=1}^n{\alpha_i}\, \mu(A_i\cap E) \).

Y en tal caso, si el límite de un supremo es el supremo del límite.

03 Noviembre, 2019, 03:06 pm
Respuesta #1

Masacroso

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En general \( E \) es un conjunto medible, de otro modo creo que la integral no puede ser planteada. Pero no entiendo a qué te refieres con que \( X \) sea abierto: \( X \) abierto siempre en su topología. ¿Querías decir \( E \) abierto?

La definición de la integral de Lebesgue es la misma para cualquier \( E \) medible, sea abierto o de otro tipo.

03 Noviembre, 2019, 05:12 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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En general \( E \) es un conjunto medible, de otro modo creo que la integral no puede ser planteada. Pero no entiendo a qué te refieres con que \( X \) sea abierto: \( X \) abierto siempre en su topología. ¿Querías decir \( E \) abierto?

Sí, quería plantear la integral en un subconjunto de \( \mathbb{R} \): \( E \), no \( X \).

El límite lo he escrito yo, por eso preguntaba. Todo lo demás lo he sacado del libro de Rudin que está colgado en https://59clc.files.wordpress.com/2011/01/real-and-complex-analysis.pdf, página 19 (34 en el pdf), "Integration of Positive Functions".

03 Noviembre, 2019, 07:23 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Mi duda es si \( X \) es un subconjunto abierto de \( \mathbb{R} \),

Es que le llames \( X \) o \( E \) o lo que sea no se a que viene puntualizar lo de "abierto"; la definición que da el Rudin es válida sobre cualquier conjunto medible, en particular los abiertos.

Citar
la definición de \( \displaystyle\int_{E}^{}{f\, d\mu} \) sería \( \displaystyle\int_{E}^{}{f\, d\mu}=\displaystyle\lim_{n \to{}\infty} sup\, \displaystyle\int_{E}^{}s\, d\mu=\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}sup\, \displaystyle\sum_{i=1}^n{\alpha_i}\, \mu(A_i\cap E) \).

No tiene sentido que tomes ahí un límite cuando \( n \) tiende a infinito, porque previamente no hemos definido ninguna sucesión de funciones simples. El \( n \) que aparece en la definición de Rudin se refiere simplemente al número de subconjuntos sobre los cuales está definida una función simple genérica; varía para cada función.

Como consecuencia del Teorema de la Convergencia Monótona y teniendo en cuenta que toda función medible es límite de funciones simples, uno podría rehacer la definición refiriéndose a una sucesión de funciones simples y entonces tendría sentido escribir algo parecido a lo que has hecho.

Saludos.

03 Noviembre, 2019, 08:53 pm
Respuesta #4

Bobby Fischer

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Es que le llames \( X \) o \( E \) o lo que sea no se a que viene puntualizar lo de "abierto"; la definición que da el Rudin es válida sobre cualquier conjunto medible, en particular los abiertos.

Es cierto. Mencioné la palabra "abierto" por la relación que hay con la topología. Pero no era mi intención referirme específicamente a un intervalo abierto de la recta real.

Imaginé que si la función era por ejemplo \( \sen: E\mapsto [-1,1] \), entonces los conjuntos serían de la forma \( B_i=\{x\in E: s(x)=\sen(x)\} \), y la función \( s \) debería ser definida de forma tal que el número de conjuntos \( B_i \) tendiera a un infinito no numerable.

Citar
Como consecuencia del Teorema de la Convergencia Monótona y teniendo en cuenta que toda función medible es límite de funciones simples, uno podría rehacer la definición refiriéndose a una sucesión de funciones simples y entonces tendría sentido escribir algo parecido a lo que has hecho.

Saludos.

Entiendo.


Imagino que las funciones simples se consideran positivas porque hacerlo así "ahorra trabajo", pero no veo cómo. No creo que sea obligatorio definirlas así porque ello produzca graves inconvenientes. Simplemente abría que redefinir \( -\infty\cdot 0 \). ¿Estoy en lo cierto?

Yo quiero aprobar la asignatura, pero estoy aprendiéndola sólo.

Gracias,

Saludos.

03 Noviembre, 2019, 09:11 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Imaginé que si la función era por ejemplo \( \sen: E\mapsto [-1,1] \), entonces los conjuntos serían de la forma \( B_i=\{x\in E: s(x)=\sen(x)\} \), y la función \( s \) debería ser definida de forma tal que el número de conjuntos \( B_i \) tendiera a un infinito no numerable.

Esos conjuntos \( B_i \) no están muy bien escritos. No tengo mucho tiempo ahora.

Una función simple es la que es constante a trozos con un número finito de ellos.

Considerando la función seno en \( I=[0,\pi/2] \) (para evitar por ahora negativos) un ejemplo de función simple menor que el seno es definir:

\( B_1=\{x\in I|sin(x)<1/3\} \)
\( B_2=\{x\in I|1/3\leq sin(x)\leq 2/3\} \)
\( B_3=\{x\in I|2/3\leq sin(x)\leq 1\} \)

y la correspondiente función simple:

\( s(x)=\chi_{B_1}\cdot 0+\chi_{B_2}\cdot \dfrac{1}{3}+\chi_{B_3}\cdot \dfrac{2}{3} \)

o equivalentemente:

\( s(x)=\begin{cases}{ 0}&\text{si}& sin(x)<1/3 \\1/3 & \text{si}& 1/3\leq sin(x)\leq 2/3\\2/3 & \text{si}& sin(x)>2/3\end{cases} \)

Citar
Imagino que las funciones simples se consideran positivas porque hacerlo así "ahorra trabajo", pero no veo cómo. No creo que sea obligatorio definirlas así porque ello produzca graves inconvenientes. Simplemente abría que redefinir \( -\infty\cdot 0 \). ¿Estoy en lo cierto?

El problema si metes valores negativos es que la suma de una serie infinita que toma valores positivos y negativos depende del orden de los sumandos. Eso daría problemas a la hora de definir correctamente la integral.

Saludos.