Si tienes un cambio de cartas, puedes escribir \( y_i=y_i(x_1, \dots, x_n) \) y por tanto, aplicando propiedades de la diferencial de una función:
\( dy_i = \sum_j \frac{\partial y_i}{\partial x_j} dx_j \).
Recíprocamente, si quieres los \( dx \) en función de \( dy \), tienes que:
\( dx_i = \sum_j \frac{\partial x_i}{\partial y_j} dy_j \).
Si comparas con el cambio para vectores:
\( \frac{\partial}{\partial x_i} = \sum_j \frac{\partial y_j}{\partial x_i} \frac{\partial }{\partial y_j} \),
verás que mientras en una entra la matriz jacobiana, en el otro entra su inversa.
Una vez tienes la fórmula del cambio para \( 1 \)-formas, puedes usar que el producto wedge es multilineal para obtener fácilmente el cambio para \( k \)-formas.
Un caso particular muy importante es el cambio para \( n \)-formas, donde \( n \) es la dimensión de la variedad. En este caso, un frame para \( \Lambda^n M \) viene dado por una única forma: \( dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n \), y el cambio de coordenadas viene dado por el determinante de la matriz jacobiana:
\( dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n = det \left( \frac{\partial x_i}{\partial y_j} \right) dy_1 \wedge \dots \wedge dy_n \).
Demostrar esta fórmula es un ejercicio interesante, si no lo has hecho ya.
