Autor Tema: Cambio de coordenadas en el fibrado de las k-formas

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19 Noviembre, 2019, 12:20 am
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GMat

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Saludos a todos. Quería solicitar su ayuda con lo siguiente:

Sea \( M \) una variedad diferenciable y \( (U,x^1,\ldots,x^n) \) una carta coordenada alrededor de un punto \( p\in M \) el conjunto de 1-formas \( dx^1,\ldots,dx^n \) es un referencial móvil (frame) del fibrado cotangente \( T^*M \). El conjunto \( \{(dx^{i_1})\wedge\ldots\wedge(dx^{i_k}): i_1\leq\ldots\leq i_k\leq n\} \) es un referencial móvil para \( \Lambda^kT^*M \)

Si tengo otra carta coordenada \( (V,y^1,\ldots,y^n) \) alrededor de \( p \) y \( U\cap V\neq0 \) ¿Como puedo hacer el cambio de base de un sistema al otro?

Gracias de antemano por la ayuda.

Edito: Se que debe de aparecer el determinante de la matriz jacobiana, lo que deseo saber es como aparece.

19 Noviembre, 2019, 08:14 am
Respuesta #1

geómetracat

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Si tienes un cambio de cartas, puedes escribir \( y_i=y_i(x_1, \dots, x_n) \) y por tanto, aplicando propiedades de la diferencial de una función:
\( dy_i = \sum_j \frac{\partial y_i}{\partial x_j} dx_j \).
Recíprocamente, si quieres los \( dx \) en función de \( dy \), tienes que:
\( dx_i = \sum_j \frac{\partial x_i}{\partial y_j} dy_j \).
Si comparas con el cambio para vectores:
\( \frac{\partial}{\partial x_i} = \sum_j \frac{\partial y_j}{\partial x_i} \frac{\partial }{\partial y_j} \),
verás que mientras en una entra la matriz jacobiana, en el otro entra su inversa.

Una vez tienes la fórmula del cambio para \( 1 \)-formas, puedes usar que el producto wedge es multilineal para obtener fácilmente el cambio para \( k \)-formas.
Un caso particular muy importante es el cambio para \( n \)-formas, donde \( n \) es la dimensión de la variedad. En este caso, un frame para \( \Lambda^n M \) viene dado por una única forma: \( dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n \), y el cambio de coordenadas viene dado por el determinante de la matriz jacobiana:
\( dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n = det \left( \frac{\partial x_i}{\partial y_j} \right) dy_1 \wedge \dots \wedge dy_n \).
Demostrar esta fórmula es un ejercicio interesante, si no lo has hecho ya.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

21 Noviembre, 2019, 06:29 pm
Respuesta #2

GMat

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Saludos, muchas gracias por loa respuesta. Realmente no logro ver como aparece el determinante. ¿Podrías ilustrarme el cambio con una 2-forma? Estoy seguro (espero) que con eso podré ver como se realiza en general.

21 Noviembre, 2019, 07:23 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Saludos, muchas gracias por loa respuesta. Realmente no logro ver como aparece el determinante. ¿Podrías ilustrarme el cambio con una 2-forma? Estoy seguro (espero) que con eso podré ver como se realiza en general.

Tienes:

\( dx_i=a_{i1}dy_1+a_{i2}dy_2 \) con \( a_{ij}=\dfrac{\partial x_i}{\partial y_j} \) (le llamo así por comodidad)

Entonces:

\( dx_1\wedge dx_2=(a_{11}dy_1+a_{12}dy_2)\wedge (a_{21}dy_1+a_{22}dy_2) \)

Por multilinealidad del producto exterior queda:

\( a_{11}a_{21}dy_1\wedge dy_1+a_{11}a_{22}dy_1\wedge dy_2+a_{12}a_{21}dy_2\wedge dy_1+a_{12}a_{22}dy_2\wedge dy_2 \)

Por antisimetría del producto exterior:

\( dy_1\wedge dy_1=dy_2\wedge dy_2=0 \)
\( dy_2\wedge dy_1=-dy_1\wedge dy_2 \)

Queda:
\(
a_{11}a_{22}dy_1\wedge dy_2-a_{12}a_{21}dy_1\wedge dy_2=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})dy_1\wedge dy_2=det\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{pmatrix}dy_1\wedge dy_2 \)

En general para el caso \( n \) tendrás que usar igualmente la multilinealidad, que por antisimetría los términos con diferenciales repetidas son cero y las que tienen todas las diferenciales distintas puedes siempre ponerlas en orden con el número adecuado de cambios de posición (y el consiguiente de signo), lo cuál se formaliza a través de la signatura de la correspondiente permutación.

Te convendrá recordar la definición de determinante:

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL1/pdfs/TEORIA2-2.pdf

Saludos.

27 Noviembre, 2019, 04:44 am
Respuesta #4

GMat

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