[Hauss]

Hola

Otro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Se puede demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas ya que para cualquier \( \delta >0 \) siempre existen puntos \( x,y \) con \( |x-y|<\delta  \) tales que \( |f(x)-f(y)|>1/2 \), y lo mismo pasa para \( f^{-1} \).

Disculpa de nuevo la molestia, ¿como se podria demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas?

Considera:

\( x_n=n+1 \) y así \( f(x_n)=n+1. \)
\( y_n=n+1-\dfrac{1}{n+1} \) y así \( f(y_n)=\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}+n \)

Entonces:

\( |x_n-y_n|=\dfrac{1}{n+1}\to 0 \) cuando \( n\to \infty \)

y:

\( |f(x_n)-f(y_n)|=1-\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}\to 1-e^{-1} \) cuando \( n\to \infty \)

Por tanto no es uniformemente continua.

La inversa es:

\( f^{-1}(x)=(x-\lfloor x \rfloor)^{1/(n+1)}+n \) si \( x\in [n,n+1) \)

Haz algo similar tomando:

\( x_n=n \)
\( y_n=n+\dfrac{1}{n+1} \)

Saludos.

Muchas gracias, saludos.

[Hauss]

Hola

Otro contra-ejemplo sería el siguiente: la función definida por \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Se puede demostrar que ni \( f \) ni \( f^{-1} \) son uniformemente continuas ya que para cualquier \( \delta >0 \) siempre existen puntos \( x,y \) con \( |x-y|<\delta  \) tales que \( |f(x)-f(y)|>1/2 \), y lo mismo pasa para \( f^{-1} \).

Disculpa pero \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \), ¿es continua?

[Masacroso]

Una imagen vale más que mil palabras:




En el applet de arriba se representan las gráficas de funciones del tipo \( g_m(x):=x^m \) en \( [0,1] \). Observa que la distancia entre las coordenadas en Y de los puntos \( P \) y \( Q \) siempre es igual a \( 1/2 \), sin embargo el valor que toma la coordenada en X del punto \( P \) es cada vez más cercano a la coordenada en X del punto \( Q \) conforme el valor de \( m \) se incrementa.

Yo lo que he hecho es pegar todas las funciones \( g_m \) en una sola función continua, eso es lo que significa \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Eso nos asegura, por lo dicho antes sobre los puntos \( P \) y \( Q \), que \( f \) no es uniformemente continua (aunque es creciente).

De una forma parecida se puede demostrar que la inversa tampoco es uniformemente continua ya que a las funciones del tipo \( h_m(x):=\sqrt[m]{x} \) en \( [0,1] \) les pasa algo semejante pero con puntos diferentes a lo mostrado en la gráfica anterior, y la inversa de \( f \) es un pegado de funciones del tipo \( h_m \).

AÑADO: ésta es la gráfica de \( f \):

[Hauss]

Una imagen vale más que mil palabras:




En el applet de arriba se representan las gráficas de funciones del tipo \( g_m(x):=x^m \) en \( [0,1] \). Observa que la distancia entre las coordenadas en Y de los puntos \( P \) y \( Q \) siempre es igual a \( 1/2 \), sin embargo el valor que toma la coordenada en X del punto \( P \) es cada vez más cercana a la coordenada en X del punto \( Q \) conforme el valor de \( m \) se incrementa.

Yo lo que he hecho es pegar todas las funciones \( g_m \) en una sola función continua, eso es lo que significa \( f(x):=(x-\lfloor x \rfloor)^{n+1}+n \) cuando \( x\in[n,n+1) \). Eso nos asegura, por lo dicho antes sobre los puntos \( P \) y \( Q \), que \( f \) no es uniformemente continua (aunque es creciente).

De una forma parecida se puede demostrar que la inversa tampoco es uniformemente continua ya que a las funciones del tipo \( h_m(x):=\sqrt[m]{x} \) en \( [0,1] \) les pasa algo semejante pero con puntos diferentes a lo mostrado en la gráfica anterior, y la inversa de \( f \) es un pegado de funciones del tipo \( h_m \).

AÑADO: ésta es la gráfica de \( f \):

De verdad muchísimas gracias, ademas de quedarme claro el ejemplo con las graficas me queda claro el concepto de continuidad uniforme.