Acabo de entender la actualización de \( x_0 \). O sea, arranca con una aproximación inicial \( \hat{x} \) y un residuo inicial \( \hat{r} \) cuya relación es
\( \hat{r}=b-A\hat{x} \)
A continuación, modifica con cierto criterio \( \hat{r} \) y lo transforma en \( r_0 \). Bueno, entonces tiene que actualizar en forma acorde el estimador inicial. Llámese \( x_0 \) al valor actualizado de \( \hat{x} \). Es decir, debe hallarse \( x_0 \) tal que
\( b-Ax_0=r_0 \)
Observar que
\( \begin{align*}
b-Ax_0&=r_0\\
&=\hat{r}-CC^H\hat{r}\\
&=(b-A\hat{x})-CC^H\hat{r}
\end{align*} \)
luego
\(
Ax_0=A\hat{x}+CC^H\hat{r}
\)
pero como \( AU=CR \) entonces \( AUR^{-1}=C \). Sustituyendo,
\( \begin{align*}
Ax_0&=A\hat{x}+AUR^{-1}C^H\hat{r}\\
&=A(\hat{x}+UR^{-1}C^H\hat{r})
\end{align*} \)
luego
\( x_0=\hat{x}+UR^{-1}C^H\hat{r}=\hat{x}+UR^{-1}\xi \)
que es la fórmula que muestra el pseudocódigo.
Me faltaría entender por qué se toma \( x_m \) como \( x_0+V_my+UR^{-1}z \)...