Autor Tema: Lagrangianos en la ecuación de geodésicas

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13 Noviembre, 2019, 06:19 am
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GMat

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Saludos. Estaba probando que las geodésicas minimizan (localmente) distancias entre puntos como problema variacional. Uno de los puntos que me llamó la atención es que en dicho problema podemos tomar un lagrangiano \( L_1 \) que es la raiz cuadrada de la métrica Riemanniana y otro lagrangiano \( L_2=\frac{1}{2}g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j \) (no estoy explicando mucho la notación pero creo que estoy usando la notación estándar para estos tópicos).

No me quedó del todo claro por que podía escoger \( L_2 \) para tratar el problema de minimizar distancias así que intenté ver que podía llegar a la ecuación de las geodésicas con los dos lagrangianos. Para el lagrangiano \( L_2 \) logré resolverlo (con la ayuda geómetracat en un hilo anterior), cuando quise hacerlo para el lagrangiano \( L_1=\sqrt{g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j} \) vi que una parte de las ecuaciones de Euler-Lagrange (y suponiendo que la curva que deseo minimizar está parametrizada por longitud de arco) me quedaba igual que para el lagrangiano \( L_2 \). Pero tuve problemas con \( \partial L_1/\partial\dot{q}^k \). Este fue el problema

\( \frac{\partial L_1}{\partial\dot{q}^k}=\frac{g_{kj}\dot{q}^j}{2\sqrt{g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j}} \)

Allí apliqué la regla básica de diferenciación de la raíz, pero para obtener el resultado deseado ese factor \( 1/2 \) me estorba ¿Podrían indicarme que estoy haciendo mal en este caso? ¿El enfoque que tomé no es el correcto? Cuando hice la derivada \( \partial L_1/\partial q \) me apareció el factor \( 1/2 \) pero en ese caso si lo necesitaba allí

Saludos

14 Noviembre, 2019, 08:26 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Ten en cuenta que:

\( g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\displaystyle\sum_{j=1}^n{}g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}g_{ii}(\dot{q}^i)^2+\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\displaystyle\sum_{j=1,j\neq i}^n{}g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j=\\=
\displaystyle\sum_{i=1}^n{}g_{ii}(\dot{q}^i)^2+2\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\displaystyle\sum_{j=i+1}^n{}g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j \)

donde en el último paso usamos la simetría de \( g_{ij} \).

 Si derivas respecto de \( \dot{q}^k \) te queda:

\(  2g_{kk}\dot{q}^k+2\displaystyle\sum_{j=1,j\neq k}^n{}g_{jk}\dot{q}^j=2\displaystyle\sum_{j=1}^n{}g_{jk}\dot{q}^j=g_{jk}\dot{q}^j \)

Saludos.

P.D. Incluso si lo quieres ver más claro para \( n=2 \):

\( g_{ij}\dot q^i\dot q^j=g_{11}(\dot q^1)^2+2g_{12}\dot q^1\dot q^2+g_{22}(\dot q^2)^2 \)

Si derivas respecto de \( \dot q^1 \) te queda:

\( 2g_{11}\dot q^1+2g_{12}\dot q^2 \)

17 Noviembre, 2019, 08:08 pm
Respuesta #2

GMat

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Muchas gracias, todo comprendido