Autor Tema: Determinando el espacio dual del espacio de Sobolev general.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

11 Noviembre, 2019, 01:00 am
Leído 191 veces

lindtaylor

  • Héroe
  • Mensajes: 1,315
  • País: cl
  • Karma: +0/-1
  • Sexo: Masculino
Hola muy buenas a todos.

Me gustaría ver porqué el dual del espacio de Sobolev \( H^{s,p}(\mathbb{R}^n) \text{es} H^{-s,p'}(\mathbb{R}^n) \) con \( 1/p+1/{p'}=1. \)

Sé que la justificación es debido al "dual pairing"\( <u,v>_{H^{-s,p'}\times H^{s,p}}:=<J_{-s}u,J_{s}v>_{L^{p'}\times L^p} \) con \( J_{s} \) el operador de Bessel, junto a una proposición que viene del álgebra lineal que dice:

Prop. Sean \( V,W  \) espacios vectoriales de dimensión finita. El "pairing" \( <,>:V\oplus W\to \mathbb{R} \) es no degenerado si y sólo si la función \( v\mapsto <v,> \)  define un isomorfismo \( V\to W^{\ast} \) con \( W^{\ast} \) el espacio dual de \( W \).


Mi problema es ver que ese "dual pairing" sea no degenerado, es decir, si \( <u,v>=0 \) para todo \( w\in W \) entonces\(  v=0  \)pero no sé como interpretar \( <J_{-s}u,J_{s}v>_{L^{p'}\times L^p} \)  (Ejemplo, sé que \( <f,g>_{L^2}=\int f(x)g(x)dx \) pero no sé como interpretar \( <f,g>_{L^{p'}\times L^{p}}=\int ¿?dx \).

Desde ya muchas gracias.
....