Autor Tema: Problema de conjuntos

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07 Noviembre, 2019, 04:30 am
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Julio_fmat

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Sean \( A,B,C\subset \Omega \) conjuntos. La diferencia simetrica de \( A \) y \( B \) se define como \( A\triangle B:= (A\setminus B)\cup (B\setminus A). \) Verifique que \( (A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)=(A\triangle B)\cup (B\triangle C). \)

Hola, lo tengo casi resuelto, pero me estanco en una parte...

\( \begin{eqnarray*}
(A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)&=&(A\cup B\cup C) \cap (A\cap B\cap C)^{c}\\
&=&(A\cup B\cup C) \cap (A^c\cup B^c\cup C^c)\\
&=&[(A\cup B\cup C)\cap A^c]\cup [(A\cup B\cup C)\cap B^c]\cup [(A\cup B\cup C)\cap C^c]\\
&=&[(A^c\cap B)\cup (A^c\cap C)]\cup [(B^c\cap A)\cup (B^c\cap C)]\cup [(C^c\cap A)\cup (C^c\cap B)]\\
&=&[(B\setminus A)\cup (C\setminus A)]\cup [(A\setminus B)\cup (C\setminus B)]\cup [(A\setminus C)\cup (B\setminus C)]\\
&=&[(A\setminus B)\cup (A\setminus C)]\cup [(B\setminus A) \cup (B\setminus C)]\cup [(C\setminus A)\cup (C\setminus B)]\\
&=&[A\setminus (B\cap C)]\cup [B\setminus (A\cap C)]\cup [C\setminus (A\cap B)]
\end{eqnarray*}
 \)

Luego, segun el solucionario, lo anterior es equivalente a

\( [(A\setminus B)\cup (B\setminus C)]\cup [(B\setminus A)\cup (C\setminus B)]\\
(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\cup (B\setminus C)\cup (C\setminus B)\\
(A \triangle B) \cup (B \triangle C).
 \)

Lo cual no entiendo como se llega a ello...  :banghead:
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

07 Noviembre, 2019, 08:57 am
Respuesta #1

Bobby Fischer

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Hola,

No tenía el ordenador, pero había un aula abierta.



Saludos.

07 Noviembre, 2019, 10:59 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Sean \( A,B,C\subset \Omega \) conjuntos. La diferencia simetrica de \( A \) y \( B \) se define como \( A\triangle B:= (A\setminus B)\cup (B\setminus A). \) Verifique que \( (A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)=(A\triangle B)\cup (B\triangle C). \)

Hola, lo tengo casi resuelto, pero me estanco en una parte...

\( \begin{eqnarray*}
(A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)&=&(A\cup B\cup C) \cap (A\cap B\cap C)^{c}\\
&=&(A\cup B\cup C) \cap (A^c\cup B^c\cup C^c)\\
&=&[(A\cup B\cup C)\cap A^c]\cup [(A\cup B\cup C)\cap B^c]\cup [(A\cup B\cup C)\cap C^c]\\
&=&[(A^c\cap B)\cup (A^c\cap C)]\cup [(B^c\cap A)\cup (B^c\cap C)]\cup [(C^c\cap A)\cup (C^c\cap B)]\\
\end{eqnarray*}
 \)

Desde ahí ten en cuenta que:

\( (A^c\cap B)=(A^c\cap B\cap C)\cup (A^c\cap B\cap C^c) \)
\( (A^c\cap C)=(A^c\cap B\cap C)\cup (A^c\cap B^c\cap C) \)
\( (B^c\cap A)=(A\cap B^c\cap C)\cup (A\cap B^c\cap C^c) \)
\( (B^c\cap C)=(A\cap B^c\cap C)\cup (A^c\cap B^c\cap C) \)    (*)
\( (C^c\cap A)=(A\cap B\cap C^c)\cup (A\cap B^c\cap C^c) \)
\( (C^c\cap B)=(A\cap B\cap C^c)\cup (A^c\cap B\cap C^c) \)

Uniendo y eliminando las repeticiones queda:

\( (A^c\cap B\cap C)\cup (A^c\cap B\cap C^c)\cup (A^c\cap B^c\cap C)\cup (A\cap B^c\cap C)\cup (A\cap B\cap C^c)\cup (A\cap B^c\cap C^c) \) (**)

Por otra parte:

\(  (A \triangle B) \cup (B \triangle C)=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\cup (B\setminus C)\cup (C\setminus B)=(A\cap B^c)\cup (A^c\cap A)\cup (B\cap C^c)\cup (C\cap B^c) \)

Ahora vuelve a aplicar (*) y eliminando repeticiones llegas a (**).


No tenía el ordenador, pero había un aula abierta.

Spoiler
[cerrar]

Está bien lo que haces, pero fíjate que queremos llegar a una expresión aun más simple:

\( (A \triangle B) \cup (B \triangle C) \) en lugar de \( (A \triangle B) \cup (B \triangle C)\cup (A\triangle C) \)

Saludos.

07 Noviembre, 2019, 07:30 pm
Respuesta #3

Bobby Fischer

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Ha sido muy interesante, gracias a los dos.

11 Noviembre, 2019, 07:46 am
Respuesta #4

Julio_fmat

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Muchas Gracias, lo resolvi de la siguiente manera. Consideremos que \( A\setminus C\subset (A\setminus B)\cup (B\setminus C) \) y que \( C\setminus A\subset (B\setminus A)\cup (C\setminus B) \). Notamos que las contenciones son igualdades, porque \( A\setminus C= (A\setminus C)\cap X= (A\cap C^c)\cap (B\cup B^c)=(A\cap C^c\cap B)\cup (A\cap C^c\cap B^c)\subset (B\cap C^c)\cup (A\cap B^c)=(B\setminus C)\cup (A\setminus B). \) Por tanto, tenemos que

\( \begin{eqnarray*}
(A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)&=&[(A\setminus B)\cup (B\setminus A)]\cup [(B\setminus C)\cup (C\setminus B)]\cup [(A\setminus B)\cup (B\setminus C)]\cup [(B\setminus A)\cup (C\setminus B)]\\
&=&[(A\setminus B)\cup (B\setminus A)]\cup [(B\setminus C)\cup (C\setminus B)]\\
&=&(A\triangle B)\cup (B\triangle C).
\end{eqnarray*}
 \)

Saludos.
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

11 Noviembre, 2019, 09:56 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Muchas Gracias, lo resolvi de la siguiente manera. Consideremos que \( A\setminus C\subset (A\setminus B)\cup (B\setminus C) \) y que \( C\setminus A\subset (B\setminus A)\cup (C\setminus B) \). Notamos que las contenciones son igualdades, porque \( A\setminus C= (A\setminus C)\cap X= (A\cap C^c)\cap (B\cup B^c)=(A\cap C^c\cap B)\cup (A\cap C^c\cap B^c)\subset (B\cap C^c)\cup (A\cap B^c)=(B\setminus C)\cup (A\setminus B). \)

Esa inclusión es cierta; pero NO son igualdades. Y de hecho ahí  no estás demostrando la igualdad; sólo la inclusión.

Spoiler
Por ejemplo si \( A=\{1\} \), \( B=\{2\} \), \( C=\emptyset, A\setminus C=\{1\} \) y \( (A\setminus B)\cup (B\setminus C)=\{1,2\} \).
[cerrar]

Citar
Por tanto, tenemos que

\( \begin{eqnarray*}
(A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)&=&\color{red}[(A\setminus B)\cup (B\setminus A)]\cup [(B\setminus C)\cup (C\setminus B)]\cup [(A\setminus B)\cup (B\setminus C)]\cup [(B\setminus A)\cup (C\setminus B)]\color{black}\\
&=&[(A\setminus B)\cup (B\setminus A)]\cup [(B\setminus C)\cup (C\setminus B)]\\
&=&(A\triangle B)\cup (B\triangle C).
\end{eqnarray*}
 \)

No queda claro de donde te sacas la primera igualdad.

En tu primer mensaje llegaste a:

\( (A\setminus B)\cup (A\setminus C)]\cup [(B\setminus A) \cup (B\setminus C)]\cup [(C\setminus A)\cup (C\setminus B) \)

Usando que:

\( A\setminus C\subset (A\setminus B)\cup (B\setminus C) \)
\( C\setminus A\subset (B\setminus A)\cup (C\setminus B) \)

y que en general si \( X\subset Y, \) \( X\cup Y=Y \) te queda:

\( =(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\cup (B\setminus C)\cup (C\setminus B)=(A \triangle B) \cup (B \triangle C). \)

Saludos.