Autor Tema: Combinatoria

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09 Noviembre, 2019, 03:10 am
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0_kool

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¿Cuántas palabras de 6 letras,que contengan dos vocales diferentes y cuatro consonantes distintas,se pueden formar con 4 vocales incluyendo la A y seis consonantes incluyendo la T,de manera que empiece con A y contengan a la  T?

09 Noviembre, 2019, 04:28 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

Por el enunciado la palabra tiene necesariamente 2 vocales distintas y 4 consonantes distintas una de sus fromas es esta :

\( AvTc_1c_2c_3 \), donde v representa a una vocal y \( c_1 \) representa a la consonante más a la izquierda, \( c_2 \) la segunda más a la izquierda y \( c_3 \) la tercera más a la izquierda. Para un conjunto de 4 vocales diferentes que incluyen a la A, el número de vocales posibles es \( n_v=3 \), el número de consonantes 1 posibles es \( n_1=5 \), el número de consonantes 2 posibles es \( n_2=4 \) y de las consonantes 3 es \( n_3=3 \). En consecuencia de la forma manifiestada hay \( n_vn_1n_2n_3=3(5)4(3)=180 \) palabras de un grupo determinado de 4 vocales y 6 consonantes. El total de palabras de la forma \( Av... \), por tener 4 posiciones posibles la T, el total será \( 4(180) \) y el total de la forma \( A... \) por haber 5 posiciones posibles para la vocal será \( 5(4)(180)=3600 \)

El número de palabras de la forma \( A... \) que se pueden formar con un solo grupo de 6 constantes y con todos los grupos diferentes  de 4 vocales incluyendo la A será : \( m=\displaystyle\frac{4!}{3!}(3600) \) y finalmente el total de palabras de la forma \( A... \) que se pueden formar considerando todos los grupos de 6 constantes incluyendo siempre la T, lo cual equivale  a multiplicar por el número de conjuntos diferentes de 5 constantes que se pueden formar a partir de todas la constantes excepto la T es decir a partir de las 21 constantes restantes, será :  \( \displaystyle\frac{21!}{5! \ 16!}m \),


Saludos

09 Noviembre, 2019, 05:24 am
Respuesta #2

0_kool

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HOLA DELMAR

para serte franco me perdí de mitad del problema en adelante(del 180)...sorry

09 Noviembre, 2019, 09:40 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 Yo no estoy entendiendo el problema exactamente igual que delmar.

 Yo entiendo que están fijadas las cuatro vocales  (incluyendo la A) y las seis consontantes (incluyendo las T) que podemos usar.

 Eso sería este cálculo con el que estoy de acuerdo aunque yo lo razonaría de otra forma:

Por el enunciado la palabra tiene necesariamente 2 vocales distintas y 4 consonantes distintas una de sus fromas es esta :

\( AvTc_1c_2c_3 \), donde v representa a una vocal y \( c_1 \) representa a la consonante más a la izquierda, \( c_2 \) la segunda más a la izquierda y \( c_3 \) la tercera más a la izquierda. Para un conjunto de 4 vocales diferentes que incluyen a la A, el número de vocales posibles es \( n_v=3 \), el número de consonantes 1 posibles es \( n_1=5 \), el número de consonantes 2 posibles es \( n_2=4 \) y de las consonantes 3 es \( n_3=3 \). En consecuencia de la forma manifiestada hay \( n_vn_1n_2n_3=3(5)4(3)=180 \) palabras de un grupo determinado de 4 vocales y 6 consonantes. El total de palabras de la forma \( Av... \), por tener 4 posiciones posibles la T, el total será \( 4(180) \) y el total de la forma \( A... \) por haber 5 posiciones posibles para la vocal será \( 5(4)(180)=3600 \)

 Yo razonaría así.

 Las formas de elegir la otra vocal que acompañará a A y formará la palabra son \( 3 \).

 Las formas de elegir las tres otras consontantes entre las cinco restantes (excluyendo la \( T \)) son: \( \displaystyle\binom{5}{3} \).

 Una vez que tenemos las seis letras disintas que formarán nuestra palabra, como la A va primero hay que contar las formas de permutar las otras cinco letras entre los cinco puestos finales. Son 5!.

 En total:

\(  3\cdot \displaystyle\binom{5}{3}\cdot 5!=3600 \)

 Ahora voy con lo que no estoy de acuerdo por dos motivos:

Citar
El número de palabras de la forma \( A... \) que se pueden formar con un solo grupo de 6 constantes y con todos los grupos diferentes  de 4 vocales incluyendo la A será : \( m=\displaystyle\frac{4!}{3!}(3600) \) y finalmente el total de palabras de la forma \( A... \) que se pueden formar considerando todos los grupos de 6 constantes incluyendo siempre la T, lo cual equivale  a multiplicar por el número de conjuntos diferentes de 5 constantes que se pueden formar a partir de todas la constantes excepto la T es decir a partir de las 21 constantes restantes, será :  \( \displaystyle\frac{21!}{5! \ 16!}m \),


 Ahí estás suponiendo que todavía las cuatro vocales y seis consonantes que usamos se pueden elegir entre todo el alfabeto (siempre que mantengamos la A y la T). Pero entonces el cálculo estaría mal. Por que por ejemplo cuentras como distintas todas las palabras que surgen de seleccionar las 4 vocales AEIO frente a las que resultarían de seleccionar AEIU. Sin embargo en ambos casos si las dos vocales que escogemos para formar la palabra son AE, aparecen palabras repetidas.

 Por otra parte a mi no me parce razonable esa interpretación; si así fuese el dato de que hacemos esa pre-selección de 4 vocales y 6 consonantes sería irrelevante, porque finalmente nuestras palabras podrían usar cualquier vocal y cualquier consonante. En ese caso el conteo, siguiendo un razonamiento análogo que expuse al principio sería:

\( 4\cdot \displaystyle\binom{21}{3}\cdot 5! \)

Saludos.

09 Noviembre, 2019, 06:56 pm
Respuesta #4

delmar

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Sí, Luis Fuentes en la interpretación (utilizar los diversos grupos de 4 vocales y 6 constantes diferentes, obviamente incluyendo la A y la T respectivamente) hay palabras repetidas. Gracias por aclarar.

Un saludo