Autor Tema: Quadrilateral problem

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22 Octubre, 2019, 04:32 pm
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jacks

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Let \( A(z_{1}),B(z_{2}),C(Z_{3}) \) and \( D(z_{4}) \) are the vertices of an Trepezium in an Argand plane

Let \( |z_{1}-z_{2}|=4,|z_{3}-z_{4}|=10 \) and Diagonal \( AC \) and \( BD \) intersect

at \( P. \) It is given that \( \displaystyle \arg\bigg(\frac{z_{4}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}\bigg)=\frac{\pi}{2} \) and \( \displaystyle \arg\bigg(\frac{z_{3}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}=\frac{\pi}{4}\bigg). \)

Then area of Triangle \( \displaystyle PCB \) and \( |CP-DP| \) is

23 Octubre, 2019, 10:00 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hi

Let \( A(z_{1}),B(z_{2}),C(Z_{3}) \) and \( D(z_{4}) \) are the vertices of an Trepezium in an Argand plane

Let \( |z_{1}-z_{2}|=4,|z_{3}-z_{4}|=10 \) and Diagonal \( AC \) and \( BD \) intersect

at \( P. \) It is given that \( \displaystyle \arg\bigg(\frac{z_{4}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}\bigg)=\frac{\pi}{2} \) and \( \displaystyle \arg\bigg(\frac{z_{3}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}=\frac{\pi}{4}\bigg). \)

Then area of Triangle \( \displaystyle PCB \) and \( |CP-DP| \) is

Hint:



Best regards.

01 Noviembre, 2019, 10:46 am
Respuesta #2

jacks

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Thanks Admin Got it.

please explain me how i find \( |PC-PD| \)

09 Noviembre, 2019, 10:33 am
Respuesta #3

martiniano

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Hola.



Me acabo de acordar de que este problema se nos quedó en el tintero. Yo lo que he pensado es, sobre el dibujo de Luis, considerar la paralela a la recta \( BC \) que pasa por \( A \) y su intersección, \( C' \), con \( DC \). Entonces, aplicando el teorema del coseno a \( DAC' \) tenemos:

\( 6^2=AD^2+AC'^2-2AD\cdot{}AC'\cos45\,\Rightarrow{} \)
\( 36=x^2+\left(\displaystyle\frac{2y}{5}\right)^2+y^2+\left(\displaystyle\frac{2x}{5}\right)^2-2\cdot{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2}}\cdot{}\sqrt[ ]{\left(x^2+\left(\displaystyle\frac{2y}{5}\right)^2\right)\cdot{}\left(y^2+\left(\displaystyle\frac{2x}{5}\right)^2\right)}\;\Rightarrow{} \)
\( 36=10^2+\displaystyle\frac{4}{25}\cdot{10^2}-\sqrt[ ]{2}\cdot{}\sqrt[ ]{\left(x^2y^2+\displaystyle\frac{4}{25}\cdot{}(x^4+y^4)+\displaystyle\frac{16}{625}\cdot{}x^2y^2\right)}\;\Rightarrow{} \)
\( 80=\sqrt[ ]{2}\cdot{}\sqrt[ ]{\left(x^2y^2+\displaystyle\frac{4}{25}\cdot{}((x^2+y^2))^2-\displaystyle\frac{8}{25}x^2y^2+\displaystyle\frac{16}{625}\cdot{}x^2y^2\right)}\;\Rightarrow{} \)
\( 6400=2\cdot{}\left(\displaystyle\frac{441}{625}\cdot{}x^2y^2+\displaystyle\frac{4}{25}\cdot{}\left(10^2\right)^2\right)\;\Rightarrow{} \)
\( xy=\displaystyle\frac{10^3}{21} \)

Por tanto:

\( x-y=\sqrt[ ]{(x-y)^2}=\sqrt[ ]{x^2+y^2-2xy}=\sqrt[ ]{10^2-2\cdot{}\displaystyle\frac{10^3}{21}}=... \)

Repasar las cuentas... Un saludo.

PD. Revisa también el enunciado...

10 Noviembre, 2019, 11:59 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

\( x-y=\sqrt[ ]{(x-y)^2}=\sqrt[ ]{x^2+y^2-2xy}=\sqrt[ ]{10^2-2\cdot{}\displaystyle\frac{10^3}{21}}=... \)

Repasar las cuentas... Un saludo.

Está bien.  :aplauso:

Saludos.

11 Noviembre, 2019, 03:24 pm
Respuesta #5

jacks

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Thanks martiniano and Admin