Autor Tema: Primer teorema fundamental del cálculo

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08 Noviembre, 2019, 01:14 pm
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Marcos Castillo

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Hola, estoy terminando de leer el segundo y último libro de un curso de acceso a la universidad de la Uned, y hay algo del enunciado del Primer teorema fundamental del cálculo que no entiendo. Lo escribo:
Primer teorema fundamental del cálculo. Sea \( f \) una función integrable en \( [a,b] \) y sea \( F \) la función definida, para cada \( x\in{[a,b]} \), por
\( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{a}f(t)dt \).
Si \( f \) es continua en un punto \( x\in{[a,b]} \) entonces \( F \) es derivable en \( x \), y además
\( F'(x)=f(x) \). Adjunto dibujo.




La duda es: ¿por qué pone \( f(t)dt \), cuando tendría que poner \( f(x)dx \)?.
Un saludo
No man is an island (John Donne)

08 Noviembre, 2019, 01:17 pm
Respuesta #1

feriva

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Hola, Marcos.

Hola, estoy terminando de leer el segundo y último libro de un curso de acceso a la universidad de la Uned, y hay algo del enunciado del Primer teorema fundamental del cálculo que no entiendo. Lo escribo:
Primer teorema fundamental del cálculo. Sea \( f \) una función integrable en \( [a,b] \) y sea \( F \) la función definida, para cada \( x\in{[a,b]} \), por
\( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{a}f(t)dt \).
Si \( f \) es continua en un punto \( x\in{[a,b]} \) entonces \( F \) es derivable en \( x \), y además
\( F'(x)=f(x) \). Adjunto dibujo.
La duda es: ¿por qué pone \( f(t)dt \), cuando tendría que poner \( f(x)dx \)?.
Un saludo

Por que f(t) puede ser a su vez una función de "x", es más general (o más particular, según se designe). De hecho, fíjate en en los límites de la integral, va desde "x" hasta "a".

Saludos.

08 Noviembre, 2019, 01:27 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola, estoy terminando de leer el segundo y último libro de un curso de acceso a la universidad de la Uned, y hay algo del enunciado del Primer teorema fundamental del cálculo que no entiendo. Lo escribo:
Primer teorema fundamental del cálculo. Sea \( f \) una función integrable en \( [a,b] \) y sea \( F \) la función definida, para cada \( x\in{[a,b]} \), por
\( F(x)=\displaystyle\int_{x}^{a}f(t)dt \).
Si \( f \) es continua en un punto \( x\in{[a,b]} \) entonces \( F \) es derivable en \( x \), y además
\( F'(x)=f(x) \). Adjunto dibujo.




La duda es: ¿por qué pone \( f(t)dt \), cuando tendría que poner \( f(x)dx \)?.
Un saludo

El nombre de la variable es irrelevante. Da igual:

\( \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt=\displaystyle\int_{0}^{x}f(s)ds=\displaystyle\int_{0}^{x}f(w)dw \)

Ahora sin embargo si pones:

\( \displaystyle\int_{0}^{x}f(x)dx \)

se presta a confusión porque estás usando el mismo nombre para el límite superior de la integral y la variable de integración.

Saludos.

08 Noviembre, 2019, 01:56 pm
Respuesta #3

Marcos Castillo

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¡Muchas gracias, feriva, Luis!
Un saludo
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