Autor Tema: Cuadrado de un número impar

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09 Noviembre, 2019, 08:41 pm
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xequebo2

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PROBLEMA: Consideramos la tabla

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Demostrar que la suma de cada fila es un cuadrado de un número impar.

09 Noviembre, 2019, 09:12 pm
Respuesta #1

feriva

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PROBLEMA: Consideramos la tabla

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Demostrar que la suma de cada fila es un cuadrado de un número impar.


Hola.

Hay que demostrar que cada fila es equivalente, por transformación, a la suma de impares consecutivos desde 1.


Bueno, si no entiendes lo que te digo mira esto

Spoiler
Aunque es una suma notable (famosa, que normalmente no hace falta demostrar) es muy sencilla de probar

Por inducción

\( 1+3...+2n-1=n^{2}
  \)

Para 1 es cierto.

Supuesto cualquier “n” que lo cumple, para el siguiente tienes

\( {\color{blue}1+3...+2n-1}+2(n+1)-1=(n+1)^{2}
  \)

\( {\color{blue}n}^{{\color{blue}2}}+2(n+1)-1=(n+1)^{2}
  \)

Entonces

\( n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}
  \)

Y ahí queda demostrado que la suma de impares consecutivos es un cuadrado.

Entonces, como

\( 1=1 \)

\( 2+3+4=(2-1)+3+5
  \)

etc.

Las sumas son cuadrados.
[cerrar]

Otra forma más:

Si tienes una cantidad impar de números naturales consecutivos, hay uno que queda en el centro y una misma cantidad a cada lado. La suma de esos números es el producto de el del centro por la cantidad de números. Así, particularmente, si la cantidad es igual al número del centro, entonces es un cuadrado.

Lo explico y lo demuestro en la primera respuesta de este hilo


http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=109648.msg433135#msg433135


Saludos.

10 Noviembre, 2019, 09:45 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

PROBLEMA: Consideramos la tabla

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Demostrar que la suma de cada fila es un cuadrado de un número impar.

Directamente: la fila \( n \) comienza por \( n \) y termina en \( 3n-2 \). Los términos forman una progresión artimétrica. Por la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética:

\( S_n=\dfrac{n+3n-2}{2}\cdot (3n-2-n+1)=(2n-1)(2n-1)=(2n-1)^2 \)

Saludos.