Autor Tema: Polynomials

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07 Noviembre, 2019, 02:34 pm
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jacks

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If \( f \) be a non zero polynomial such that \( f(1-x)=f(1+x) \) for all real \( x \)

And \( f(1)=0 \). Then largest positive integer \( m \) such that

\( (x-1)^{m} \) divides polynomial \( f(x) \) for all polynomial \( f(x), \) is

07 Noviembre, 2019, 05:17 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Maybe I am missing something obvious, but what about the polynomials \( (x-1)^{2k} \) for an arbitrary \( k>0 \)? They satisfy all the conditions, so there is no such largest \( m \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Noviembre, 2019, 05:49 pm
Respuesta #2

martiniano

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Hello.

The polinomials you have found are not divisibles all them by \( (x-1)^m \) if \( m>2 \). Then \( m\leq{2} \)...

Health.

07 Noviembre, 2019, 06:15 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Obviously I have misunderstood the statement of the problem. The question is to find the largest \( m \) dividing all polynomials satisfying those conditions. Thanks, martiniano.

But now it's easy to see that in fact \( m=2 \). Indeed, as martiniano has remarked, my previous example show that \( m \leq 2 \).
Now, if \( f(x) \) is a polynomial satisfying the conditions but not divisible by \( (1-x)^2 \), we can write:
\( f(x) = (x-1)g(x) \), where \( g(x) \) is a polynomial with \( g(1) \neq 0 \).
From \( f(1+x)=f(1-x) \) we obtain:
\( -xg(1+x)=xg(1-x) \), hence:
\( -g(1+x)=g(1-x) \).
Evaluating at \( x=0 \), we obtain \( -g(1) = g(1) \), hence \( 2g(1)=0 \) and \( g(1)=0 \), contradiction.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Noviembre, 2019, 07:25 am
Respuesta #4

jacks

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Thanks Moderator got it