Autor Tema: Integral

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07 Noviembre, 2019, 11:05 am
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Marcos Castillo

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Hola, tengo una integral resuelta y una duda. Lo escribo:
\( -2\displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}\mbox{dx}=+\dfrac{2}{3}\cos^3{(x)}+k \)
La duda es que no entiendo el cambio de signo.
Un saludo
No man is an island (John Donne)

07 Noviembre, 2019, 11:08 am
Respuesta #1

Bobby Fischer

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Hola, tengo una integral resuelta y una duda. Lo escribo:
\( -2\displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}\mbox{dx}=+\dfrac{2}{3}\cos^3{(x)}+k \)
La duda es que no entiendo el cambio de signo.
Un saludo

Tienes que tener la derivada del coseno en el integrando, que es menos seno.

Saludos Marcos.

07 Noviembre, 2019, 11:10 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola, tengo una integral resuelta y una duda. Lo escribo:
\( -2\displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}\mbox{dx}=+\dfrac{2}{3}\cos^3{(x)}+k \)
La duda es que no entiendo el cambio de signo.
Un saludo

Es que no hay un "cambio de signo" de la nada. Simplemente haz cuentas.

Haz el cambio \( cos(x)=t. \)

Saludos.

07 Noviembre, 2019, 01:15 pm
Respuesta #3

Marcos Castillo

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Hola Bobby Fischer, Luis. A ver:
\( -2\displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}dx \);
\( \cos{(x)}=t \)
\( -\sen{(x)}dx=dt \)
\( 2\displaystyle\int t^2dt=2\dfrac{t^3}{3}+k=2\dfrac{\cos^3{(x)}}{3}+k \)
Pero tengo una duda. El libro de texto dice:
"Con la terminología tradicional se dice "haciendo el cambio de variable"
Paso 1: Se sustituye \( g(x) \) por una variable nueva \( t \).
Paso 2: Se sustituye \( g'(x)dx \) por \( dt \).
Paso 3: Se reescribe la integral y se calcula
\( \displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(t)dt=F(t)+k \).
Paso 4: Se deshace el cambio \( F(t)+k=F(g(x))+k \).
La duda es: ¿\( \cos^2{(x)}=f(g(x)) \)?. Yo sólo veo una función: \( f(x)=\cos^2{(x)} \).
Un saludo
No man is an island (John Donne)

07 Noviembre, 2019, 01:37 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Hola Bobby Fischer, Luis. A ver:
\( -2\displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}dx \);
\( \cos{(x)}=t \)
\( -\sen{(x)}dx=dt \)
\( 2\displaystyle\int t^2dt=2\dfrac{t^3}{3}+k=2\dfrac{\cos^3{(x)}}{3}+k \)
Pero tengo una duda. El libro de texto dice:
"Con la terminología tradicional se dice "haciendo el cambio de variable"
Paso 1: Se sustituye \( g(x) \) por una variable nueva \( t \).
Paso 2: Se sustituye \( g'(x)dx \) por \( dt \).
Paso 3: Se reescribe la integral y se calcula
\( \displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(t)dt=F(t)+k \).
Paso 4: Se deshace el cambio \( F(t)+k=F(g(x))+k \).
La duda es: ¿\( \cos^2{(x)}=f(g(x)) \)?. Yo sólo veo una función: \( f(x)=\cos^2{(x)} \).
Un saludo

\( f(x)=x^2,\qquad g(x)=cos(x) \)

Saludos.

07 Noviembre, 2019, 01:55 pm
Respuesta #5

feriva

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Hola, Marcos.

Puedes transformar la expresión así \( sen(x)\cdot cos^{2}(x)=sen(x)\left(1-sen^{2}x\right)=sen(x)-sen^{3}x
  \) y hacerla como la suma de dos integrales por teorema Fundamental del Cálculo; así la ves desde otra perspectiva.

Saludos.

07 Noviembre, 2019, 02:00 pm
Respuesta #6

Marcos Castillo

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¡Gracias, Luis, Bobby Fischer!
Un saludo
No man is an island (John Donne)

07 Noviembre, 2019, 02:02 pm
Respuesta #7

Marcos Castillo

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¡Gracias feriva!
No man is an island (John Donne)

07 Noviembre, 2019, 04:54 pm
Respuesta #8

feriva

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¡Gracias feriva!



De nada, Marcos, te la he hecho yo en "colores"; para prácticar, que hace décadas que no hago cosas de integrales

\( \int sen^{3}(x)\cdot dx=
  \)

\( \int sen(x)\cdot sen^{2}(x)dx=
  \)

\( \int sen(x)\left(1-cos^{2}(x)\right)dx=
  \)

\( {\color{blue}\int(sen(x)dx}{\color{magenta}-\int sen(x)cos^{2}(x)dx}:
  \)


 \( {\color{blue}\int(sen(x))dx=-cos(x)}
 
  \)   (si la derivada del coseno es negativa, análogamente lo es la integral del seno).


\( -\int cos^{2}(x)\cdot sen(x)dx\Rightarrow
  \)

\( cos(x)=t;\,\, cos^{\prime}(x)=-sen(x)=t^{\prime}\Rightarrow
  \)
(aquí la derivada del coseno, negativa)

\( -\int t\cdot d(t)=
  \)

\( {\color{black}-}\int cos^{2}(x)\cdot sen(x))dx=
  \)

\( \int cos^{2}(x)\cdot({\color{black}-}sen(x))dx=
  \)

\( \dfrac{cos^{3}(x)}{3}\Rightarrow
  \)

Entonces

\( {\color{blue}\int(sen(x)}{\color{magenta}-sen(x)cos^{2}(x))sx}=\int sen^{3}(x)=
  \)

\( {\color{blue}-cos(x)+\dfrac{cos^{3}(x)}{3}+k}
  \)

...

Ahora, la integral que tienes es

\( -2\int sen(x)\cdot cos^{2}(x)d(x)
  \)

por la transformación que te decía en la otra respuesta es lo mismo que

\( -2\int sen(x)-sen^{3}x
  \)

Entonces queda

\( -2\left(-cos(x)-({\color{blue}-cos(x)+\dfrac{cos^{3}(x)}{3}})\right)=
  \)

\( 2\left(cos(x)+({\color{blue}-cos(x)+\dfrac{cos^{3}(x)}{3}})\right)=
  \)

\( 2\left(cos(x){\color{blue}-cos(x)+\dfrac{cos^{3}(x)}{3}}\right)=
  \)

\( 2\cdot\dfrac{cos^{3}(x)}{3}+k
  \)

Saludos.

07 Noviembre, 2019, 07:46 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

¡Gracias feriva!



De nada, Marcos, te la he hecho yo en "colores"; para prácticar, que hace décadas que no hago cosas de integrales

\( \int sen^{3}(x)\cdot dx=
  \)

\( \int sen(x)\cdot sen^{2}(x)dx=
  \)

\( \int sen(x)\left(1-cos^{2}(x)\right)dx=
  \)

\( {\color{blue}\int(sen(x)dx}{\color{magenta}-\int sen(x)cos^{2}(x)dx}:
  \)


 \( {\color{blue}\int(sen(x))dx=-cos(x)}
 
  \)   (si la derivada del coseno es negativa, análogamente lo es la integral del seno).


\( -\int cos^{2}(x)\cdot sen(x)dx\Rightarrow
  \)

\( cos(x)=t;\,\, cos^{\prime}(x)=-sen(x)=t^{\prime}\Rightarrow
  \)
(aquí la derivada del coseno, negativa)

\( -\int t\cdot d(t)=
  \)

\( {\color{black}-}\int cos^{2}(x)\cdot sen(x))dx=
  \)

\( \int cos^{2}(x)\cdot({\color{black}-}sen(x))dx=
  \)

\( \dfrac{cos^{3}(x)}{3}\Rightarrow
  \)

Entonces

\( {\color{blue}\int(sen(x)}{\color{magenta}-sen(x)cos^{2}(x))sx}=\int sen^{3}(x)=
  \)

\( {\color{blue}-cos(x)+\dfrac{cos^{3}(x)}{3}+k}
  \)

...

Ahora, la integral que tienes es

\( -2\int sen(x)\cdot cos^{2}(x)d(x)
  \)

por la transformación que te decía en la otra respuesta es lo mismo que

\( -2\int sen(x)-sen^{3}x
  \)

Entonces queda

\( -2\left(-cos(x)-({\color{blue}-cos(x)+\dfrac{cos^{3}(x)}{3}})\right)=
  \)

\( 2\left(cos(x)+({\color{blue}-cos(x)+\dfrac{cos^{3}(x)}{3}})\right)=
  \)

\( 2\left(cos(x){\color{blue}-cos(x)+\dfrac{cos^{3}(x)}{3}}\right)=
  \)

\( 2\cdot\dfrac{cos^{3}(x)}{3}+k
  \)

Nada de esto está mal, pero sin embargo el camino que propones es un poco absurdo (en concreto un razonamiento circular). Y me explico.

Para resolver:

\( \displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}\mbox{dx} \)

propones unas ciertas cuentas que después obligan calcular la integral:

\( \displaystyle\int sin^3(x)dx \)

y resulta que para calcular esa integral, con otras cuentas, tienes que calcular (y de hecho calculas):

\( \displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}\mbox{dx} \)

Saludos.

07 Noviembre, 2019, 09:24 pm
Respuesta #10

feriva

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Nada de esto está mal, pero sin embargo el camino que propones es un poco absurdo (en concreto un razonamiento circular). Y me explico.

Para resolver:

\( \displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}\mbox{dx} \)

propones unas ciertas cuentas que después obligan calcular la integral:

\( \displaystyle\int sin^3(x)dx \)

y resulta que para calcular esa integral, con otras cuentas, tienes que calcular (y de hecho calculas):

\( \displaystyle\int\sen{(x)}\cos^2{(x)}\mbox{dx} \)

Saludos.

Sí, Luis, me di cuenta sobre la marcha al dar ese paso, pero ya seguí por ver si llegaba al final sin equivocarme :D
Muchas gracias.

Saludos.