Autor Tema: Demostrar que \(n(n+1)/2\) es un número natural

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07 Noviembre, 2019, 02:21 am
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manooooh

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Hola!!

En un ejercicio sobre inducción que dice que hay que probar que \[\frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}\in\Bbb{N}\] se llega a un momento en donde tenemos varios sumandos naturales (en el paso inductivo), y uno de ellos es \[\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\] o sea hay que demostrar que \( \frac{n(n+1)}{2} \) es natural.

Para ello mi profesor escribe:

Esta parte \( \frac{n^2}{2}+\frac{n}{2} \) es \( \frac{n(n+1)}{2} \) y o bien \( n \) o \( n+1 \) es par \( \implies \) \( \frac{n(n+1)}{2}\in\Bbb{N} \)

pero no creo que constituya una prueba completa.

Tengo en claro que \( n(n+1) \) es siempre par pues si:

- \( n=2k \) entonces \( 2k(2k+1)=2(2k^2+k)=2m \) con \( m=2k^2+k\in\Bbb{N} \) y por tanto \( n(n+1) \) es par.

- \( n=2k+1 \) entonces \( (2k+1)(2k+2)=2((2k+1)(k+1))=2l \) con \( l=(2k+1)(k+1)\in\Bbb{N} \) y por tanto \( n(n+1) \) es par.

pero NO tengo en claro que \( n(n+1)/2 \) sea siempre par.

¿Cómo lo demostramos?

Gracias!!
Saludos

07 Noviembre, 2019, 04:42 am
Respuesta #1

Abdulai

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....
pero NO tengo en claro que \( n(n+1)/2 \) sea siempre par.
...

Es que no lo es, para los \( n=1,2,5,6,9,10,...,4k+1,4k+2,... \)  resulta impar.


Otra forma es aprovechar que se trata de un polinomio, y en consecuencia la tercer diferencia será constante.

Si  \( S(n)=\frac{1}{3}n+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n^3 \;\;\longrightarrow\;\; S(n+3)-3S(n+2)+3S(n+1)-S(n)=1 \)

\( \therefore\quad  S(n+3)=3S(n+2)-3S(n+1)+S(n)+1 \)

07 Noviembre, 2019, 05:12 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola Abdulai

Muchas gracias por aclararme la segunda duda. No lo había visto.

Me gustaría usar el hecho de lo que el profesor dijo o en todo caso aclarármelo porque no entendí la implicación que hizo.

Saludos

07 Noviembre, 2019, 07:26 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Me gustaría usar el hecho de lo que el profesor dijo o en todo caso aclarármelo porque no entendí la implicación que hizo.

 ¿Pero qué es lo que no entiendes?

 1) ¿Entiendes que dado un número natural \( n \) o bien  o bien \( n+1 \) es par?.

 2) Si \( n \) es par entonces:

 \( \dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n}{2}\cdot (n+1) \) entero natural por ser producto de enteros naturales.

 3) Si \( n \) es impar entonces:

 \( \dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n+1}{2}\cdot (n) \) entero natural por ser producto de enteros naturales.

Saludos.

CORREGIDO

07 Noviembre, 2019, 07:33 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola

Creo que en (3) quisiste poner "impar".

Entiendo las tres afirmaciones, pero me cuesta ver que con las tres afirmemos que \( n(n+1)/2 \) siempre es natural. De hecho vos decís que es entero pero los negativos no son naturales, o sea más confuso aun (entiendo que extendemos los números pares al conjunto de enteros pero igual).

Entiendo que el producto de dos números consecutivos es siempre natural, pero no cuando se lo divide entre dos.

Saludos


07 Noviembre, 2019, 08:07 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Creo que en (3) quisiste poner "impar".

Si, lo he corregido.

Citar
Entiendo las tres afirmaciones, pero me cuesta ver que con las tres afirmemos que \( n(n+1)/2 \) siempre es natural. De hecho vos decís que es entero pero los negativos no son naturales, o sea más confuso aun (entiendo que extendemos los números pares al conjunto de enteros pero igual).

Puse entero "por poner"; pero todo sigue siendo cierto si pongo natural. Creo que no logro ver el bloqueo que tienes en tu cabeza con esto. Es muy obvio todo.

Citar
Entiendo que el producto de dos números consecutivos es siempre natural, pero no cuando se lo divide entre dos.

Lo que estamos usando es que un número natural par entre dos siempre es natural. Lo usamos bien cuando \( n \) es par o bien cuando \( n+1 \) es par.

Saludos.

07 Noviembre, 2019, 10:29 am
Respuesta #6

robinlambada

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Hola manoooh, creo que te falta ver que todo numero par es divisible entre 2, realmente tu practicamente has hecho la demostración, salvo el último paso.

Tengo en claro que \( n(n+1) \) es siempre par pues si:

- \( n=2k \) entonces \( 2k(2k+1)=2(2k^2+k)=2m \) con \( m=2k^2+k\in\Bbb{N} \) y por tanto \( n(n+1) \) es par.

- \( n=2k+1 \) entonces \( (2k+1)(2k+2)=2((2k+1)(k+1))=2l \) con \( l=(2k+1)(k+1)\in\Bbb{N} \) y por tanto \( n(n+1) \) es par.

Hasta aquí correcto. además k es natural:

Se termina así: si n es natural par , \( n=2k\Rightarrow{} \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}=\displaystyle\frac{\cancel{2}k(2k+1)}{\cancel{2}}=k(2k+1)\in{\mathbb{N}} \)
                        si n es natural impar ,\( n=2k+1\Rightarrow{} \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}=\displaystyle\frac{(2k+1)(2k+2)}{2}=\displaystyle\frac{(2k+1)\cancel{2}(k+1)}{\cancel{2}}=(2k+1)(k+1)\in{\mathbb{N}} \)
Citar
pero NO tengo en claro que \( n(n+1)/2 \) sea siempre par.

Es que precisamente \( n(n+1)/2 \) No siempre es par , ni falta que hace, lo que se pide es que la expresión sea natural NO par.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

09 Noviembre, 2019, 02:36 am
Respuesta #7

manooooh

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Hola a todos

Muchas gracias por su ayuda! Logré comprenderlo.

Saludos

09 Noviembre, 2019, 09:26 am
Respuesta #8

feriva

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  • ¡EUKERA!... ¡UEREKA!... ¡EUREKA! (corregido)
Hola, manooooh, paso a saludarte y de paso digo algo para que no quede aburrido el saludo :)

Para demostrar eso no necesitas escribir muchas letras, pienso yo.

Primeramente,  tienes un número que es el producto de dos naturales consecutivos; y que uno de ellos es par es evidente (se puede demostrar con el algoritmo de la división con los restos, o con el principio del Palomar... pero es “autoevidente”, que creo que se dice o alguna vez he visto por aquí). Así que basta con lo que pone tu profe; pero casi queda más fácil escribirlo con palabras, al menos aquí, que así no se usa Latex.

Spoiler
Ahora, bien, si quieres demostrarlo algebraicamente puedes, por ejemplo, suponer que existe una pareja de números consecutivos donde ninguno es par. Entonces ambos tienen que ser impares; y ahí lo demuestras muy fácil por reducción al absurdo, pues basta hacer una cuenta y sacar factor común 2.
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El siguiente paso es igualmente sencillo; para cualquier natural “m” par se tiene que \( 2|m \). Como sabes, por definición, esta expresión dice directamente que \( \dfrac{m}{2} \) es entero (y en este caso particular positivo). Entonces \( \dfrac{m}{2}\in \mathbb {N} \) y por la disyunción alguna es cierta; es cierto para alguno de los factores (qué raro que no hayas usado el símbolo de la disyunción con lo que te gustan los símbolos lógicos, aquí viene de perlas; \( 2|n\,\vee\,2|(n+1) ).
  \)

Por tanto, n(n+1) es el producto de dos naturales y uno de los factores es par; y por lo anterior  \( n(n+1)/2 \) es un producto de enteros.

Ahora lo rematas evocando la propiedad de cerradura: el producto de dos o más naturales es otro natural.

Spoiler

También se puede decir (aunque queda fuera de lo que te piden) que si en dos números consecutivos siempre uno es par, en tres consecutivos siempre hay al menos un par y un múltiplo de 3 (puede ser las dos cosas, podría ser 6, por ejemplo); para cuatro consecutivos hay al menos un múltiplo de 2, de 3 y de 4... y, en general, en “n” números consecutivos, hay uno de “n”,, “n-1”... etc. Esto también es fácil de demostrar por inducción o usando el Principio del Palomar...
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Saludos.