Autor Tema: Espacio cociente

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06 Noviembre, 2019, 04:46 am
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Steven_Math

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Buenas noches he tratado de resolver varios ejercicios para una tarea que tengo, pero estos tres ejercicios no los he podido resolver, si alguien me ayuda se lo agradecería mucho. Son los siguientes:

\( 1) \) Sea \( M \) un subespacio vectorial cerrado de un espacio Banach \( X \). Sea \( (x_n) \) una sucesión en \( X \) tal que  \( d(x_n,M)\leq \dfrac{1}{n^2} \) para cada \( n\in\mathbb{N} \). Mostrar que existe \( a\in X \) tal que

                                                        \( \lim_{n \to \infty}d(x_1+\ldots+x_n-a,M)=0 \).

\( 2) \) Sea \( X \) un espacio normado con \( dimX\leq 1  \). Mostrar que si \( M \) es un subespacio vectorial cerrado de \( X \), entonces el mapeo cociente \( Q_M:X \to X/M \) es una mapeo abierto.

\( 3) \) Sea
                                                      \( M:=\{f\in C([0,1])  \ | \ \int_{0}^{1}f(x)dx=0 \)\}
mostrar que \( M \) es un subespacio vectorial cerrado de \( C([0,1]) \).

06 Noviembre, 2019, 08:44 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Buenas noches he tratado de resolver varios ejercicios para una tarea que tengo, pero estos tres ejercicios no los he podido resolver, si alguien me ayuda se lo agradecería mucho. Son los siguientes:

\( 1) \) Sea \( M \) un subespacio vectorial cerrado de un espacio Banach \( X \). Sea \( (x_n) \) una sucesión en \( X \) tal que  \( d(x_n,M)\leq \dfrac{1}{n^2} \) para cada \( n\in\mathbb{N} \). Mostrar que existe \( a\in X \) tal que

                                                        \( \lim_{n \to \infty}d(x_1+\ldots+x_n-a,M)=0 \).

Por ser subespacio cerrado existe \( y_n\in M \) tal que \( \|x_n-y_n\|\leq \dfrac{1}{n^2} \).

Toma (comprueba que converge):

\( a=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}(x_n-y_n) \)

y comprueba que cumple lo pedido.

Citar
\( 2) \) Sea \( X \) un espacio normado con \( dimX\leq 1  \). Mostrar que si \( M \) es un subespacio vectorial cerrado de \( X \), entonces el mapeo cociente \( Q_M:X \to X/M \) es una mapeo abierto.

Revisa la condición marcada en rojo.

Citar
\( 3) \) Sea
                                                      \( M:=\{f\in C([0,1])  \ | \ \int_{0}^{1}f(x)dx=0 \)\}
mostrar que \( M \) es un subespacio vectorial cerrado de \( C([0,1]) \).

¿Qué norma estás considerando?

Saludos.

06 Noviembre, 2019, 06:16 pm
Respuesta #2

Steven_Math

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Hola

Buenas noches he tratado de resolver varios ejercicios para una tarea que tengo, pero estos tres ejercicios no los he podido resolver, si alguien me ayuda se lo agradecería mucho. Son los siguientes:

\( 1) \) Sea \( M \) un subespacio vectorial cerrado de un espacio Banach \( X \). Sea \( (x_n) \) una sucesión en \( X \) tal que  \( d(x_n,M)\leq \dfrac{1}{n^2} \) para cada \( n\in\mathbb{N} \). Mostrar que existe \( a\in X \) tal que

                                                        \( \lim_{n \to \infty}d(x_1+\ldots+x_n-a,M)=0 \).

Por ser subespacio cerrado existe \( y_n\in M \) tal que \( \|x_n-y_n\|\leq \dfrac{1}{n^2} \).

Toma (comprueba que converge):

\( a=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}(x_n-y_n) \)

y comprueba que cumple lo pedido.

Citar
\( 2) \) Sea \( X \) un espacio normado con \( dimX\leq 1  \). Mostrar que si \( M \) es un subespacio vectorial cerrado de \( X \), entonces el mapeo cociente \( Q_M:X \to X/M \) es una mapeo abierto.

Revisa la condición marcada en rojo.

Citar
\( 3) \) Sea
                                                      \( M:=\{f\in C([0,1])  \ | \ \int_{0}^{1}f(x)dx=0 \)\}
mostrar que \( M \) es un subespacio vectorial cerrado de \( C([0,1]) \).

¿Qué norma estás considerando?

Saludos.
Luis así están formulados los problemas en el libro: FUNCTIONAL ANALYSIS, DZUNG MINH HA, V1.  Pag 203. Pienso yo que tuvo ése error de redacción. por ejemplo debería ser \( dimX\geq 1  \) y en el otro ejercicio no especifican  que norma  utilizar. ¿Podríamos utilizar la norma \( ||x||=\int_{0}^{1}|x(t)|dt \)?

07 Noviembre, 2019, 12:37 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Para el dos tienes que probar que si \( V \) es abierto en \( X \) entonces \( \pi(V) \) es abierto en \( X/M \) es abierto en \( X/M \).

 Ahora prueba que si \( B(0,1) \) es la bola abierta  unidad en \( X \) entonces \( \pi(B(0,1)) \) es la bola abierta unidad en \( X/M \).

 De ahí para cualquier otra bola:

\(  B(x,r)=x+r\cdot B(0,1)\quad \Rightarrow{}\quad \pi(B(x,r))=\pi(x)+r\pi(b(0,1)) \) abierto en \( X/M \)

 y tienes el resultado.

Saludos.

07 Noviembre, 2019, 12:56 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

 Para el tercero con esa norma, si \( \{f_n\}\to f \) entonces:

\(  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\displaystyle\int_{0}^{1}|f_n(x)-f(x)|dx=0 \)

 Pero:

\(  \left|\displaystyle\int_{0}^{1}(f_n(x)-f(x))dx\right|\leq \displaystyle\int_{0}^{1}|f_n(x)-f(x)|dx \)

 Aplicando límites se deduce que:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\displaystyle\int_{0}^{1}(f_n(x)-f(x))dx=0 \)

y

\( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\int_{0}^{1}f_n(x)dx=0 \)

Saludos.