Autor Tema: Duda respecto a integral compleja

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05 Noviembre, 2019, 09:57 pm
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FerOliMenNewton

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Hola a todos, primero que nada les envío un cordial saludo :).
Estoy haciendo un ejercicio donde para \( R>0 \) se define
\( I(R)=\displaystyle\int_{\gamma _{R} }^{} \displaystyle\frac{e^{i\cdot{z}}}{z} \)
Donde \( \gamma _{R} (t)= R \cdot{e^{it}} \) para \( t\in{[0,\pi]} \)
¿Cómo puedo probar que \(      \displaystyle\lim_{R \to{ }0}{I(R)} = \pi  \cdot{i}           \) ? , suena lógico pero hasta ahora todas mis ideas han fallado :( , les agradezco de antemano su ayuda.
Saludos.

05 Noviembre, 2019, 11:35 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

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Sugerencia. Haciendo el cambio de variable \( z=Re^{it} \) obtendrás \( I(R)=\ldots=\displaystyle\int_{0}^{\pi}ie^{ie^{Rit}}dt \). Toma ahora límite cuando \( R\to 0 \).

08 Noviembre, 2019, 02:00 am
Respuesta #2

FerOliMenNewton

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Hola Fernando! Muchas gracias por tu respuesta:), de hecho es justo una de las cosas que estaba haciendo pero me la pusieron mal  :( pero no sé porque, esto fue lo que hice:
Por definición, debo mostrar que dado \( \epsilon >0 \) \( \exists{\delta >0 } \) tal que para todo \( R \), si \( |R|<\delta \) entonces \( |I(R)-i\cdot{\pi}|<\epsilon  \)
Como bien dices, haciendo ese cambio de variable obtenemos que :
\( |I(R)-i\cdot{\pi}|= \left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi} i\cdot{e^{iR\cdot{e^{it}}}}   dt     -i\cdot{\pi} \right|  \)
                 \( =\left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}     \left(  e^{iR\cdot{e^{it}}} -1 \right)  dt           \right| \)
                 \(  \leq{  \left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}     \left|  e^{iR\cdot{e^{it}}} -1 \right|  dt           \right|                         } \)
                 \( = \left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}     \left|  \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(iRe^{it})^{n}}{n!}}-1 \right|  dt           \right|     \)
                 \( =\left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}     \left|  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(iRe^{it})^{n}}{n!}} \right|  dt           \right| \)
                 \( \leq{ \left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}     \left|  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ \left| \displaystyle\frac{(iRe^{it})^{n}}{n!} \right| } dt \right|            \right|} \)
                 \( =\left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{R^{n}}{n!}}   dt           \right| \)
                 \( =\left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}  \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{R^{n}}{n!}} -1  dt           \right| \)
                 \( =\left| \displaystyle\int_{0}^{\pi}e^{R}-1   dt  \right| \)
                 \( =\pi\cdot{|e^{R}-1|} \)
Luego, sabemos que \(  \displaystyle\lim_{t \to{}0}{e^{t}}=1  \), por tanto existe un \( \delta^{*}>0 \) tal que \(  |e^{t}-1|< \epsilon / \pi  \) si \( |t|< \delta^{*} \), por ende si tomamos \( \delta= \delta ^{*} \) tenemos que \( |I(R)-i \pi |<\epsilon  \) si \( |R|<\delta  \).
Sin embargo al parecer hay un error , pero no entiendo dónde y porque :( .
Saludos.

08 Noviembre, 2019, 12:43 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

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No he tenido tiempo de revisar tus pasos, ahora bien me parece que usar la definición, salvo que lo pidiera explicitamente, es extremadamente sofisticado.

¿Habéis dado el teorema de derivación paramétrica? En tal caso, para \( f(R,t): [0,M]\times [0,\pi]\to \mathbb{C} \) com \( M>0 \) dada por \( f(R,t)=ie^{ie^{Rit}} \) la función \( I(R)=\int_{0}^{\pi}f(R,t) \;dt \) es derivable en \( [0,M] \) y por tanto continua. Entonces, \( \lim_{R \to 0} I(R)=I(0)=\int_{0}^{\pi}i dt=\pi i \).

08 Noviembre, 2019, 04:39 pm
Respuesta #4

Masacroso

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Hola Fernando! Muchas gracias por tu respuesta:), de hecho es justo una de las cosas que estaba haciendo pero me la pusieron mal  :( pero no sé porque, esto fue lo que hice:
Por definición, debo mostrar que dado \( \epsilon >0 \) \( \exists{\delta >0 } \) tal que para todo \( R \), si \( |R|<\delta \) entonces \( |I(R)-i\cdot{\pi}|<\epsilon  \)
Como bien dices, haciendo ese cambio de variable obtenemos que :
\( |I(R)-i\cdot{\pi}|= \left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi} i\cdot{e^{iR\cdot{e^{it}}}}   dt     -i\cdot{\pi} \right|  \)
                 \( =\left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}     \left(  e^{iR\cdot{e^{it}}} -1 \right)  dt           \right| \)
                 \(  \leq{  \left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}     \left|  e^{iR\cdot{e^{it}}} -1 \right|  dt           \right|                         } \)
                 \( = \left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}     \left|  \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(iRe^{it})^{n}}{n!}}-1 \right|  dt           \right|     \)
                 \( =\left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}     \left|  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(iRe^{it})^{n}}{n!}} \right|  dt           \right| \)
                 \( \leq{ \left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}     \left|  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ \left| \displaystyle\frac{(iRe^{it})^{n}}{n!} \right| } dt \right|            \right|} \)
                 \( =\left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{R^{n}}{n!}}   dt           \right| \)
                 \( =\left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}  \displaystyle{\color{red}{\bigg(}}\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{R^{n}}{n!}} -1  {\color{red}{\bigg)}}dt           \right| \)
                 \( =\left| \displaystyle\int_{0}^{\pi}{\color{red}{\bigg(}}e^{R}-1{\color{red}{\bigg)}}   dt  \right| \)
                 \( =\pi\cdot{|e^{R}-1|} \)
Luego, sabemos que \(  \displaystyle\lim_{t \to{}0}{e^{t}}=1  \), por tanto existe un \( \delta^{*}>0 \) tal que \(  |e^{t}-1|< \epsilon / \pi  \) si \( |t|< \delta^{*} \), por ende si tomamos \( \delta= \delta ^{*} \) tenemos que \( |I(R)-i \pi |<\epsilon  \) si \( |R|<\delta  \).
Sin embargo al parecer hay un error , pero no entiendo dónde y porque :( .
Saludos.

No veo error ninguno salvo un pequeño desliz de notación, que he corregido en rojo. También hay muchos valores absolutos superfluos (los que contienen a la integral) pero en esencia me parece correcto.

10 Noviembre, 2019, 02:36 am
Respuesta #5

FerOliMenNewton

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No he tenido tiempo de revisar tus pasos, ahora bien me parece que usar la definición, salvo que lo pidiera explicitamente, es extremadamente sofisticado.

¿Habéis dado el teorema de derivación paramétrica? En tal caso, para \( f(R,t): [0,M]\times [0,\pi]\to \mathbb{C} \) com \( M>0 \) dada por \( f(R,t)=ie^{ie^{Rit}} \) la función \( I(R)=\int_{0}^{\pi}f(R,t) \;dt \) es derivable en \( [0,M] \) y por tanto continua. Entonces, \( \lim_{R \to 0} I(R)=I(0)=\int_{0}^{\pi}i dt=\pi i \).
Hola Fernando, en verdad me parece una solución mucho más sencilla  :P , pero no se me ocurrió :( , de nuevo muchas gracias, un saludo desde México :) .

Hola Fernando! Muchas gracias por tu respuesta:), de hecho es justo una de las cosas que estaba haciendo pero me la pusieron mal  :( pero no sé porque, esto fue lo que hice:
Por definición, debo mostrar que dado \( \epsilon >0 \) \( \exists{\delta >0 } \) tal que para todo \( R \), si \( |R|<\delta \) entonces \( |I(R)-i\cdot{\pi}|<\epsilon  \)
Como bien dices, haciendo ese cambio de variable obtenemos que :
\( |I(R)-i\cdot{\pi}|= \left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi} i\cdot{e^{iR\cdot{e^{it}}}}   dt     -i\cdot{\pi} \right|  \)
                 \( =\left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}     \left(  e^{iR\cdot{e^{it}}} -1 \right)  dt           \right| \)
                 \(  \leq{  \left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}     \left|  e^{iR\cdot{e^{it}}} -1 \right|  dt           \right|                         } \)
                 \( = \left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}     \left|  \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(iRe^{it})^{n}}{n!}}-1 \right|  dt           \right|     \)
                 \( =\left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}     \left|  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(iRe^{it})^{n}}{n!}} \right|  dt           \right| \)
                 \( \leq{ \left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}     \left|  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{ \left| \displaystyle\frac{(iRe^{it})^{n}}{n!} \right| } dt \right|            \right|} \)
                 \( =\left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{R^{n}}{n!}}   dt           \right| \)
                 \( =\left|  \displaystyle\int_{0}^{\pi}  \displaystyle{\color{red}{\bigg(}}\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{R^{n}}{n!}} -1  {\color{red}{\bigg)}}dt           \right| \)
                 \( =\left| \displaystyle\int_{0}^{\pi}{\color{red}{\bigg(}}e^{R}-1{\color{red}{\bigg)}}   dt  \right| \)
                 \( =\pi\cdot{|e^{R}-1|} \)
Luego, sabemos que \(  \displaystyle\lim_{t \to{}0}{e^{t}}=1  \), por tanto existe un \( \delta^{*}>0 \) tal que \(  |e^{t}-1|< \epsilon / \pi  \) si \( |t|< \delta^{*} \), por ende si tomamos \( \delta= \delta ^{*} \) tenemos que \( |I(R)-i \pi |<\epsilon  \) si \( |R|<\delta  \).
Sin embargo al parecer hay un error , pero no entiendo dónde y porque :( .
Saludos.

No veo error ninguno salvo un pequeño desliz de notación, que he corregido en rojo. También hay muchos valores absolutos superfluos (los que contienen a la integral) pero en esencia me parece correcto.
Hola Masacroso, muchas gracias por tu respuesta :) y de hecho tienes razón sobre que muchos valores absolutos eran superfluos,  olvidé  la condición de que \( R\in{(0,\infty)} \) jajaja
De nuevo gracias por tu ayuda! Un saludo desde México :D