Autor Tema: Maximizar área de pista de atletismo

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05 Noviembre, 2019, 03:04 am
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Maria@

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Hola soy nueva, me disculpo por que sé que esta pagina no es para que otros hagan la tarea por uno pero es que este ejercicio no lo entiendo. Gracias.

Se desea construir una pista de atletismo de la forma que se presenta en el dibujo. Los requisitos que le piden al ingeniero constructor es que la pista (perímetro) de la misma mida \( 200 \) metros, y que el área interior, que será utilizada para actividades complementarias de calentamiento y ubicación de entrenadores, tenga la mayor área posible. ¿Cuáles deben de ser las dimensiones de la pista (el \( h \) y el \( x \)) para que cumpla con esas condiciones?.



05 Noviembre, 2019, 08:25 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Bienvenida al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

  En particuar el título debe de ser descriptivo del contenido matemático o científico del mensaje y no incluir frases como "ayuda" o "no se hacerlo".

 Además el texto de un problema debe de teclearse explícitamente en el mensaje y no ponerlo como una imagen adjuntas. Éstas deben de reservarse para gráficos complementarios.

 Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.

Hola soy nueva, me disculpo por que sé que esta pagina no es para que otros hagan la tarea por uno pero es que este ejercicio no lo entiendo. Gracias.

Se desea construir una pista de atletismo de la forma que se presenta en el dibujo. Los requisitos que le piden al ingeniero constructor es que la pista (perímetro) de la misma mida \( 200 \) metros, y que el área interior, que será utilizada para actividades complementarias de calentamiento y ubicación de entrenadores, tenga la mayor área posible. ¿Cuáles deben de ser las dimensiones de la pista (el \( h \) y el \( x \)) para que cumpla con esas condiciones?.



 El perímetro está formado por un segmento de longitud \( 2x \), dos de longitud \( h \) y una semicircunferencia de radio \( x \), por tanto de longitud \( \pi x \). En total:

(1) \( 2x+2h+\pi x=200 \)

 Por otro lado el área interior es la suma del área de un rectángulo y un semicírculo. Es la función a maximizar:

\( f(x,h)=4xh+\dfrac{1}{2}\pi x^2 \)

 Si despejas h en la ecuación (1) y sustituyes en la segunda puedes convertir el problema en uno de optimización en una variable.

 ¿Sabes continuar? En caso negativo pregunta las dudas.

Saludos.

08 Noviembre, 2019, 06:11 am
Respuesta #2

Maria@

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Muchas gracias por la corrección y agradezco toda la ayuda pero creo que con este ejercicio voy a pedirle ayuda a un compañero de la universidad por que honestamente no creo que lo entienda perfectamente, esta muy difícil. Gracias la próxima vez prometo preguntar según las reglas.

08 Noviembre, 2019, 12:33 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Muchas gracias por la corrección y agradezco toda la ayuda pero creo que con este ejercicio voy a pedirle ayuda a un compañero de la universidad por que honestamente no creo que lo entienda perfectamente, esta muy difícil. Gracias la próxima vez prometo preguntar según las reglas.

Puedes preguntar aquí lo que no entiendas si quieres.

Siguiendo con el primer camino que te propuse si despejas \( h \) en la primera ecuación tienes:

\( h=100-(\pi+1)x \)

Susituyendo en la función objetivo queda:

\( g(x)=4x(100-(\pi+1)x)+\dfrac{1}{2}\pi x^2 \)

Ahora hay que analizar cuando \( g'(x)=0 \) o incluso usar que \( g(x) \) es una parábola y ahí sabemos como localizar sus máximos y mínimos.

Saludos.