[GMat]

Saludos. intentando demostrar la propiedad de las geodésicas de minimizar distancias localmente usando usando las ecuaciones de Euler-Lagrange me encontre con lo siguiente:

\( \Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}\sum_l(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{li}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k})g^{lk}=\sum_l(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k})g^{lk} \)

No veo por que se da la igualdad. ¿Tiene que ver con el hecho de que la conexión que se utiliza es la de Levi-Civita?

También me gustaría recibir su ayuda con lo siguiente: AL hacer los cálculos para demostrar resolver el problema me quedo la siguiente expresión:

\( \sum_{i,j=1}^n(\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k})(x^i)'(x^j)'+\sum_{j=1}^n g_{kj}(x^k)''=0 \)

Donde la prima denota la diferenciación con respecto a \( t \). Intente llegar a la expresión que coloqué al inicio multiplicando por \( g^{jk} \) pero al hacerlo directo me quedo muy mal. ¿De que manera me recomiendan renombrar los indices para pasar de esta última ecuación a la primera?

Gracias de antemano por la ayuda.

[Arturo Gómez]

En la primera parte, lo que estás diciendo es que \( \displaystyle\frac{\partial gjl}{\partial x_i}+\displaystyle\frac{\partial gli}{\partial x_j}=2\displaystyle\frac{\partial gjl}{\partial x_i} \)?

[geómetracat]

Saludos. intentando demostrar la propiedad de las geodésicas de minimizar distancias localmente usando usando las ecuaciones de Euler-Lagrange me encontre con lo siguiente:

\( \Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}\sum_l(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{li}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k})g^{lk}=\sum_l(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k})g^{lk} \)

No veo por que se da la igualdad. ¿Tiene que ver con el hecho de que la conexión que se utiliza es la de Levi-Civita?

Antes de nada, tienes una errata en la expresión de los símbolos de Christoffel, que quizás es lo que te dificulta también la segunda parte de la pregunta. La expresión correcta es (fíjate en la \( l \) que te he puesto en rojo):

\( \Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}\sum_l(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{li}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^{\color{red} l}})g^{lk} \)

Sobre lo primero, en general no se da la igualdad, como se puede comprobar por ejemplo eligiendo una métrica que no dependa de \( x_i \) pero sí de \( x_j \). Cuando sí es cierta la igualdad es si tienes además una suma sobre los índices \( i,j \), como por ejemplo en la ecuación de las geodésicas (porque cuando sumas sobre \( i,j,l \) cada posible combinación de los tres índices aparece dos veces, una en \( \frac{\partial g_{jl}}{\partial x_i} \) y otra en \( \frac{\partial g_{il}}{\partial x_j} \) ). Imagino que es tu situación. En caso contrario aclara mejor el contexto por favor.

También me gustaría recibir su ayuda con lo siguiente: AL hacer los cálculos para demostrar resolver el problema me quedo la siguiente expresión:

\( \sum_{i,j=1}^n(\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k})(x^i)'(x^j)'+\sum_{j=1}^n g_{kj}(x^k)''=0 \)

Donde la prima denota la diferenciación con respecto a \( t \). Intente llegar a la expresión que coloqué al inicio multiplicando por \( g^{jk} \) pero al hacerlo directo me quedo muy mal. ¿De que manera me recomiendan renombrar los indices para pasar de esta última ecuación a la primera?

Está bien. Si tienes en cuenta la definición correcta debería salir de manera bastante directa. Mi consejo por eso es que multipliques por \( g^{lk} \) y sumes sobre \( k \). Como el índice \( j \) ya aparece en los sumatorios como índice mudo, si multiplicas por \( g^{jk} \) y sumas sobre \( k \) tienes todos los números para hacerte un lío de campeonato, porque en \( g^{jk} \) el índice \( j \) no es mudo, está fijado, así que no hay que confundirlo con los que aparecen en los sumatorios.

Si aun así tienes problemas, dilo y te pongo la solución paso a paso.

[GMat]

Saludos. Muchas gracias por la respuesta. Si, escribí mal en una hoja la formula y fue esa formula errada la que utilicé. Al arreglarla logré ver lo que no podía ver en la segunda pregunta que hice. Con la expresión correcta salió bastante rápido.

La propiedad aparece es en la ecuación de las geodésicas pero al hacer las combinaciones no me quedó el resultado. De hecho se me terminó anulando el término \( \frac{\partial g_{ij}}{\partial x_l} \) y los otros me aparecieron dos veces cada uno ¿Podrías explicarme mas acerca de esa suma?

Muchas gracias de antemano

[geómetracat]

Si tienes una suma en \( i,j \) tienes:

\(
\begin{eqnarray*}
\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k &=&\frac{1}{2}\sum_ {i,j,l}(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{li}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l})g^{lk} =
\frac{1}{2}(\sum_ {i,j,l}\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}g^{lk}+\sum_ {i,j,l}\frac{\partial g_{li}}{\partial x^j}g^{lk}-\sum_ {i,j,l}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}g^{lk}) = \\
&=& \frac{1}{2}(\sum_ {i,j,l}\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}g^{lk}+\sum_ {i,j,l}\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^i}g^{lk}-\sum_ {i,j,l}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}g^{lk}) =
\frac{1}{2}(2\sum_ {i,j,l}\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}g^{lk}-\sum_ {i,j,l}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}g^{lk}) =
(\sum_ {i,j,l}\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}g^{lk}-\frac{1}{2}\sum_ {i,j,l}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l})g^{lk}
\end{eqnarray*} \).

En la tercera igualdad he intercambiado los índices \( i,j \) en el segundo término (cosa que se puede hacer porque son mudos: sumas en ambos índices), y para la siguiente igualdad he usado que \( g_{jl}=g_{lj} \), por lo que el primer y el segundo término son el mismo.

En la ecuación de las geodésicas lo que te aparece en realidad es \( \sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k (x^i)'(x^j)' \), pero todo funciona de la misma manera porque el término \( (x^i)'(x^j)' \) se queda igual si intercambias \( i,j \).

[GMat]

Muchísimas gracias por la explicación. Todo me ha quedado claro.