Autor Tema: ¿Cómo probar que el existencial no distribuye respecto a la conjunción?

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30 Octubre, 2019, 02:12 am
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manooooh

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Hola!

El ejercicio pide marcar la única respuesta correcta: ¿cuál es el equivalente a la siguiente proposición?: \[\neg(\forall x(p(x)\to q(x)))\tag1\]

a) \( \forall x(\neg p(x))\wedge\forall x(q(x)) \).
b) \( \exists x(p(x)\wedge\neg q(x)) \)
c) \( \forall x(p(x)\wedge\neg q(x)) \).
d) \( \exists x(p(x))\wedge\exists x(\neg q(x)) \).



Claramente la respuesta correcta es la (b). Lo he demostrado con el hecho de que \( \neg(\forall x(P(x)))\equiv\exists x(\neg P(x)) \) y usando equivalencia del condicional y DeMorgan. Así que las otras tres quedan descartadas.

Mi pregunta es, ¿cómo hacemos para probar que \( (1)\not\equiv (a) \) c)? ¿También cómo demostramos que \( (1)\not\equiv(c) \)? ¿Y \( (1)\not\equiv(d) \)?

Para demostrar que \( (1)\not\equiv(d) \) lo que hice fue tomar \( p(x)=\text{\(x\) es múltiplo de \(4\)} \) y \( q(x)=\text{\(x\) es múltiplo de \(2\)} \). Luego \( p(x)\to q(x) \) es siempre verdadero sea cual sea la \( x \), y la negación de eso es siempre falso. Sin embargo, \( (d) \) es verdadero porque podemos tomar \( x=4 \), y \( 4 \) es múltiplo de \( 4 \), y podemos tomar \( x=3 \) para decir que \( \neg q(3) \) es verdadero, por tanto \( \exists 4(p(4))\wedge\exists 3(\neg q(3)) \) es verdadero.

Pero, ¿cómo hacemos para demostrar que \( (1) \) NO ES equivalente ni a \( (a) \) ni a \( (c) \)?

Para \( (a) \): Creo que no podemos tomar el mismo contraejemplo porque \( \forall x(\neg p(x)) \) es siempre falso y falso \( \wedge \) algo = falso, y ahí demostraríamos que son equivalentes cuando sabemos que no lo son.

Gracias!!
Saludos

30 Octubre, 2019, 11:02 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Pero, ¿cómo hacemos para demostrar que \( (1) \) NO ES equivalente ni a \( (a) \) ni a \( (c) \)?

Al revés. Toma:

\( p(x)=x \) es par
\( q(x)=x \) es múltiplo de \( 4 \)

Es falso que par implique múltiplo de \( 4 \) y por tanto (1) es verdadero.

Pero (a) y (c) son claramente falsas porque no es cierto que para todo \( x \), \( p(x) \) sea ni siempre falso ni siempre verdadero.

Saludos.

30 Octubre, 2019, 09:19 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola, muchas gracias

\( p(x)=x \) es par

Claro, yo diciendo múltiplo de \( 2 \) y vos diciendo que es par... Queda mucho mejor, qué tonto ;D.

Es falso que par implique múltiplo de \( 4 \) y por tanto (1) es verdadero.

Esto lo entiendo. Esto no:

Pero (a) y (c) son claramente falsas porque no es cierto que para todo \( x \), \( p(x) \) sea ni siempre falso ni siempre verdadero.

La clave está en que no entiendo qué querés decir con "no es cierto que para todo \( x \), \( p(x) \) sea ni siempre falso ni siempre verdadero". ¿Querés decir que dependiendo del valor de \( x \), \( p(x) \) puede ser verdadera o falsa y por tanto con un \( \forall \) resulta la proposición \( \forall x(p(x)) \) falsa (tomemos \( p(x)\equiv\neg p(x) \) porque es lo mismo, si no es par es impar)?

Lo traduzco como "es falso que para todo \( x \), \( p(x) \) sea ni siempre falso ni siempre verdadero" pero aun no logro comprenderlo del todo.

Saludos

31 Octubre, 2019, 08:08 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

La clave está en que no entiendo qué querés decir con "no es cierto que para todo \( x \), \( p(x) \) sea ni siempre falso ni siempre verdadero". ¿Querés decir que dependiendo del valor de \( x \), \( p(x) \) puede ser verdadera o falsa y por tanto con un \( \forall \) resulta la proposición \( \forall x(p(x)) \) falsa (tomemos \( p(x)\equiv\neg p(x) \) porque es lo mismo, si no es par es impar)?

Lo traduzco como "es falso que para todo \( x \), \( p(x) \) sea ni siempre falso ni siempre verdadero" pero aun no logro comprenderlo del todo.

Lo que quise decir es que hay valores de \( x \) para los cuales \( p(x) \) es verdadera y otros valores de \( x \) para los cuales \( p(x) \) es falsa. Por tanto:

\( \forall x(\neg p(x)) \) es falso

y

\( \forall x(p(x)) \) es falso

Saludos.

02 Noviembre, 2019, 02:02 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola

Lo que quise decir es que hay valores de \( x \) para los cuales \( p(x) \) es verdadera y otros valores de \( x \) para los cuales \( p(x) \) es falsa. Por tanto:

\( \forall x(\neg p(x)) \) es falso

y

\( \forall x(p(x)) \) es falso

Ahh de acuerdo. Con mostrar un caso en donde la proposición sea falsa ya el \( \forall \) falla. Gracias.

Saludos