Autor Tema: Ejemplo de Nagata. Anillo Noetheriano de dimensión de Krull infinita

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

03 Noviembre, 2019, 03:10 am
Leído 1023 veces

Gerardovf

  • $$\pi \pi$$
  • Mensajes: 42
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas tardes, estoy buscando una forma de demostrar (o más bien, de entender la demostración) lo siguiente:

Definimos el anillo \( A=\mathbb{K}[X_1,X_2,\ldots] \) de los polinomios con coeficientes en \( \mathbb{K} \) en infinitas indeterminadas. Y ahora definimos los siguientes ideales primos \( p_1=(X_1) \), \( p_2=(X_2, X_3) \), \( p_3=(X_4, X_5, X_6)\ldots \), donde cada ideal está generado por las siguientes i indeterminadas.

Ahora tomamos \( S=A-\bigcup_{i\in{I}}p_i \) una parte multiplicativamente cerrada, tenemos que demostrar que \( S^{-1}A \) es un anillo Noetheriano.

Se agradece la ayuda. Un saludo.


04 Noviembre, 2019, 07:02 pm
Respuesta #2

Gerardovf

  • $$\pi \pi$$
  • Mensajes: 42
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas tardes,

me faltó decir que he mirado todos los enlaces habidos y por haber que demuestran que es Noetheriano, y me cuesta entenderlo. El último, es el que más me ha ayudado, pero no entiendo el lema 0.0.4, ni su aplicación en el corolario 0.0.5. En mathexchange, no entiendo a qué conjunto es isomorfo \( A_{p_{i}} \).

05 Noviembre, 2019, 10:33 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,081
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Buenas tardes,

me faltó decir que he mirado todos los enlaces habidos y por haber que demuestran que es Noetheriano, y me cuesta entenderlo. El último, es el que más me ha ayudado, pero no entiendo el lema 0.0.4, ni su aplicación en el corolario 0.0.5. En mathexchange, no entiendo a qué conjunto es isomorfo \( A_{p_{i}} \).

¿Podrías precisar un poco más que no entiendes de esos dos lemas?.

El conjunto al que se refiere mathexachange es el mismo que se indica en el corolario 0.0.5.

Saludos.

05 Noviembre, 2019, 01:45 pm
Respuesta #4

Gerardovf

  • $$\pi \pi$$
  • Mensajes: 42
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas,

en primer lugar, no entiendo el lema que se utiliza en los enlaces que afirma que si la localización de todo ideal maximal es Noetheriano y que si todo elemento está contenido en una cantidad finita de ideales maximales, entonces el anillo es Noetheriano. Mis dudas son:

¿En virtud a qué podemos decir que \( I \) está contenido en una cantidad finita de ideales maximales?

¿Por qué podemos encontrar \( f_1, f_2, \ldots, f_s \in{I} \) tal que \( m_1, \ldots, m_r \) son los únicos ideales maximales que los contienen?

Por otro lado, entiendo que \( IR_{m_{i}}=\{\displaystyle\frac{a}{s}:a\in{I},s\not\in{m_i}\} \), pero no entiendo por qué \( (f_{s+1},\ldots, f_n)R_m\subset{(f_{1},\ldots, f_n)R_m} \)

Por último, no entiendo qué anillo es \( k(x_j)[x_{m_i+1},\ldots,x_{m_{i+1}}]_{(x_{m_i+1},\ldots,x_{m_{i+1}})} \) en la página de mathexchange

Con esto creo que podré sacarlo.
Gracias de antemano.

06 Noviembre, 2019, 11:23 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,081
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

¿En virtud a qué podemos decir que \( I \) está contenido en una cantidad finita de ideales maximales?

¿Por qué podemos encontrar \( f_1, f_2, \ldots, f_s \in{I} \) tal que \( m_1, \ldots, m_r \) son los únicos ideales maximales que los contienen?

Te contesto a ambas cosas conjuntamente. Dado \( f_1\in I \) no nulo, por hipótesis \( f_1 \) está contenido en un número finito de maximales:

\( f_1\subset m_1\cap m_2\cap \ldots\cap m_{k_1} \)

Ahora cualquier ideal que contenta a \( I \) contiene a \( f_1 \) por tanto los ideales maximales que contienen a \( I \) son un subconjunto de los ideales maximales que contienen a \( f_1 \) y así un número finito.

En particular, si entre los ideales que contienen a \( f_1 \) hay alguno que no contiene a todo \( I \), existe \( f_2\in I \) no contenido en todos los ideales que contenían a \( f_1 \). Retiramos aquellos en que no está (podemos suponer que son los últimos) y tenemos:

\( f_1,f_2\subset m_1\cap m_2\cap \ldots\cap m_{k_2} \) con \( k_2<k_1 \)

de manera que \( f_1,f_2 \) no están contenidos ambos a la vez en más ideales maximales. Si esa colección de ideales contiene a \( I \) hemos terminado. En otro caso existe un \( f_3 \) que no está en alguno de esos maximales, y bla..bla...bla. Repitiendo el proceso se consiguen:

\( f_1,f_2,\ldots,f_s\subset m_1\cap m_2\cap \ldots\cap m_r \)

siendo estos los maximales que contienen a \( I \) y los únicos que contienen simultáneamente a \( f_1,f_2\ldots,f_s. \)

Citar
Por otro lado, entiendo que \( IR_{m_{i}}=\{\displaystyle\frac{a}{s}:a\in{I},s\not\in{m_i}\} \), pero no entiendo por qué \( (f_{s+1},\ldots, f_n)R_m\subset{(f_{1},\ldots, f_n)R_m} \)

Pero esa inclusión es inmediata. Fíjate que en \( (f_{1},\ldots, f_n) \) tienes todos los elementos que tenías aquí  \( (f_{s+1},\ldots, f_n) \) y algunos más.

Citar
Por último, no entiendo qué anillo es \( k(x_j)[x_{m_i+1},\ldots,x_{m_{i+1}}]_{(x_{m_i+1},\ldots,x_{m_{i+1}})} \) en la página de mathexchange

Es el anillo de polinomios con coeficiente en \( [x_{m_i+1},\ldots,x_{m_{i+1}}] \) sobre el cuerpo de fracciones del anillo de polinomios con coeficientes en \( \{x_j|j\not\in \{m_i+1,m_i+2,\ldots,m_{i+1}\} \), localizado en el ideal primo \( (x_{m_i+1},\ldots,x_{m_{i+1}}) \).

Saludos.

15 Noviembre, 2019, 03:07 pm
Respuesta #6

Gerardovf

  • $$\pi \pi$$
  • Mensajes: 42
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas tardes,

siento no haber respondido antes el mensaje, pero estaba de viaje. Todo lo que has comentado resuelve mis dudas casi al cien por cien, lo único que me queda por saber es lo siguiente:

En la demostración de exos dice como \( S^{-1}_{i}I \) está finitamente generado, entonces podemos encontrar \( f_{s+1},\ldots, f_{n}\in{I} \) tal que el ideal \( S^{-1}_{i}I=S^{-1}_{i}(f_{s+1},\ldots, f_{n}) \). Mi pregunta es, por qué toma elementos de \( I \) en lugar de su localización en el anillo de fracciones, acaso hay alguna propiedad que diga que si un ideal está f.g. en el anillo de fracciones, entonces se puede expresar como la imagen de un ideal finitamente generado?

Gracias de antemano.

15 Noviembre, 2019, 06:50 pm
Respuesta #7

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,865
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
En la demostración de exos dice como \( S^{-1}_{i}I \) está finitamente generado, entonces podemos encontrar \( f_{s+1},\ldots, f_{n}\in{I} \) tal que el ideal \( S^{-1}_{i}I=S^{-1}_{i}(f_{s+1},\ldots, f_{n}) \). Mi pregunta es, por qué toma elementos de \( I \) en lugar de su localización en el anillo de fracciones, acaso hay alguna propiedad que diga que si un ideal está f.g. en el anillo de fracciones, entonces se puede expresar como la imagen de un ideal finitamente generado?

Por ser \( S^{-1}I \) finitamente generado, puedes escribir \( S^{-1}I = (a_1/s_1, \dots, a_n/s_n) \), donde \( a_i \in I \) y \( s_i \in S \). Pero entonces es fácil ver que \( S^{-1}I = S^{-1}(a_1, \dots, a_n) \).

Pero cuidado, porque lo que dices al final es falso: lo que he puesto antes no implica que \( I=(a_1, \dots, a_n) \). Por ejemplo, si consideras un dominio no noetheriano \( R \) (por ejemplo, un anillo de polinomios en infinitas variables sobre un cuerpo \( R=k\left[X_1, X_2, \dots\right] \)), y tomas como \( S=R-\{0\} \), su localización \( S^{-1}R \) es un cuerpo, luego sus ideales son finitamente generado. Por tanto, si tomas un ideal \( I \) de \( R \) que no sea finitamente generado, obtienes un contraejemplo. En el ejemplo del anillo de polinomios puedes tomar \( I=(X_1,X_2, \dots) \) que no es f.g., pero sin embargo \( S^{-1}I=S^{-1}R \), que es generado por un único elemento (el \( 1 \)).

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

22 Noviembre, 2019, 04:28 pm
Respuesta #8

Gerardovf

  • $$\pi \pi$$
  • Mensajes: 42
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muchas gracias por la aclaración, mi últimísima duda (lo prometo :P) es por qué son isomorfas las localizaciones del anillo en cuestión, \( S^{-1}A \) son isomorfas al anillo anteriormente descrito (\( k(x_j)[x_{m_i+1},\ldots, x_{m_{i+1}}] \) localizado en \( (x_{m_i+1},\ldots, x_{m_{i+1}}) \))

Muchísimas gracias por todo, me ayudado una barbaridad.