Autor Tema: Aplicación teorema del valor medio

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14 Noviembre, 2019, 09:17 pm
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david_bst

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Hola que tal, soy nuevo en el foro, tuve un pequeño problema con el registro, pero gracias a un amigo, se pudo solucionar, gracias a los moderadores por eso  :D

Mi duda tiene que ver con Análisis en Espacios Normados. Estoy estudiando (como parte de la maestría que estoy estudiando en estos momentos), el libro Análisis Matemático de Zorich. El libro es muy bueno, completo, pero al menos para mí, la notación me enreda demasiado y termino sin entender muchas cosas. Entre ellas está este ejercicio de la sección Teorema del incremento finito (Valor medio), que no he podido resolver, a pesar que lo veo sencillo:

Sea \( f:U\to Y \) un mapeo continuo de una vecindad \( U \) de un punto \( a \) en un espacio normado \( X \) en un espacio normado \( Y \). Probar que si \( f \) es diferenciable en \( U-\{a\} \) y \( f'(x) \) tiene un límite \( L\in\mathcal{L}(X;Y) \) cuando \( x\to a \), entoncs el mapeo \( f \) es diferenciable en \( a \) y \( f'(a)=L \).

No sé si será la notación que usa el libro, o las demostraciones tan enrevesadas (desde mi punto de vista), que hacen que no logre ver ni por donde empezar  :'(

Agradeceria cualquier ayuda, ya sea ideas para poder empezar, o inclusos libros o links con la materia con otra notación más entendible, en caso que alguien pudiera tener.
Gracias de antemano.

14 Noviembre, 2019, 09:42 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola que tal, soy nuevo en el foro, tuve un pequeño problema con el registro, pero gracias a un amigo, se pudo solucionar, gracias a los moderadores por eso  :D

Mi duda tiene que ver con Análisis en Espacios Normados. Estoy estudiando (como parte de la maestría que estoy estudiando en estos momentos), el libro Análisis Matemático de Zorich. El libro es muy bueno, completo, pero al menos para mí, la notación me enreda demasiado y termino sin entender muchas cosas. Entre ellas está este ejercicio de la sección Teorema del incremento finito (Valor medio), que no he podido resolver, a pesar que lo veo sencillo:

Sea \( f:U\to Y \) un mapeo continuo de una vecindad \( U \) de un punto \( a \) en un espacio normado \( X \) en un espacio normado \( Y \). Probar que si \( f \) es diferenciable en \( U-\{a\} \) y \( f'(x) \) tiene un límite \( L\in\mathcal{L}(X;Y) \) cuando \( x\to a \), entoncs el mapeo \( f \) es diferenciable en \( a \) y \( f'(a)=L \).

No sé si será la notación que usa el libro, o las demostraciones tan enrevesadas (desde mi punto de vista), que hacen que no logre ver ni por donde empezar  :'(

Agradeceria cualquier ayuda, ya sea ideas para poder empezar, o inclusos libros o links con la materia con otra notación más entendible, en caso que alguien pudiera tener.
Gracias de antemano.

Bienvenido al foro.

Piensa en el problema en funciones de variable real y trata de generalizar.

Para una variable nota que por el teorema del valor medio clásico:

\( \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{f'(c_h)h}{h}=f'(c_h) \)

para un cierto \( c_h \) entre \( x \) y \( x+h \), de forma que cuando \( h\to 0 \), \( c_h\to  \)x.

Saludos.

14 Noviembre, 2019, 09:51 pm
Respuesta #2

david_bst

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Hola

Bienvenido al foro.

Piensa en el problema en funciones de variable real y trata de generalizar.

Para una variable nota que por el teorema del valor medio clásico:

\( \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{f'(c_h)h}{h}=f'(c_h) \)

para un cierto \( c_h \) entre \( x \) y \( x+h \), de forma que cuando \( h\to 0 \), \( c_h\to  \)x.

Saludos.


Lo intentaré, gracias por la ayuda  :D