Autor Tema: Sobre el concepto de "contable"

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30 Octubre, 2019, 09:40
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feriva

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 No sirve, está mal


Spoiler

Se me ha ocurrido un ejemplo para mostrar el concepto de “contable” en lo que se refiere a los distintos tipos de infinitos y me gustaría saber si lo que digo no se opone a ningún axioma o definición (independientemente de que lo cuente con más o menos rigor).


Tanto el conjunto de los reales como el de los naturales tienen en común que, elegido un número, siempre podemos elegir después otro mayor. Con esta idea y poco más, basta con dos pasos para ilustrar de forma muy “visible” cuál es la diferencia entre lo que es contable y lo que no.

Podemos definir un subconjunto de números racionales, sea A, tal que su máximo sea “n” (un natural cualquiera) y \[ \dfrac{1}{n}
  \] sea la distancia mínima entre los elementos (siendo este “n” el mismo natural que antes).

Es bastante claro entonces que si \[ \dfrac{1}{n}
  \] es la distancia mínima en A, el siguiente más grande que él es \[ \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}
  \]; no hay ningún número entre medias que pertezca a “A”, pues para eso tendría que existir un número “a”, pertenciente a “A”, menor que el mínimo \[ \dfrac{1}{n}
  \] y tal que ocurriese esto: \[ \dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{n}+a<\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}
  \].

La propiedad básica del infinito nos permite repetir la misma idea tomando un subconjuto “B” de racionales tales que el máximo de “B” sea un natural mayor que el de “A”. Además, al tener mínimo los naturales (tomados sin el cero) podemos elegir como máximo justo el siguiente “n+1”.

Así, en este segundo paso, el mínimo de “B” es \[ (\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n})
  \], el siguiente un poco mayor es \[ (\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n})+(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n})
  \], etc. Con lo que podemos ir encontrando, a partir de un cierto número (a partir de cualquier elemento, no sólo del mínimo) los números de “A” que se suceden; y sin que se nos quede ninguno perdido entre dos de los que ya hemos tenido en cuenta. A esto podemos llamar contar; que no impone la condición de “terminar de contar”, lo cual es otro concepto relacionado, pero diferente.

...

Análogamente, tomemos un subconjunto “A2”, ahora de números reales, donde el máximo sea, por ejemplo, \[ \pi
  \], y el mínimo \[ \dfrac{1}{\pi}
  \].

El número \[ \pi
  \] es único, obviamente, de tal forma que \[ \pi+\varepsilon
  \] no pertenece al conjunto tomado. Así, de la misma forma que se veía con el otro conjunto “A”, observamos que podemos ir contando: el menor es \[ \dfrac{1}{\pi}
  \], el siguiente es \[ \dfrac{1}{\pi}+\dfrac{1}{\pi}
  \]... El subconjunto es contable, pese a que contenga irracionales, porque no hay continuidad entre ninguno de sus elementos.

Si, ahora, considerando un conjunto “B2” e intentamos ir un poco más allá de \[ \pi
  \], podemos encontrar y definir también un máximo, pero no puede ser el siguiente mayor a pi. Si definimos el máximo \[ \pi+\varepsilon_{1}
  \], sea cual sea el \[ \varepsilon_{1}>0
  \] elegido, siempre existirá un real \[ \varepsilon_{2}>0
  \] menor que \[ \varepsilon_{1}
  \].

Por tanto, ahora, al intentar contar, sí tenemos un mínimo \[ \dfrac{1}{\pi+\varepsilon_{1}}
  \], pero, después, éste número \[ \dfrac{1}{\pi+\varepsilon_{1}}+\dfrac{1}{\pi+\varepsilon_{1}}
  \] ya no sería el siguiente, pues siempre se nos quedaría en medio al menos un \[ \dfrac{1}{\pi+\varepsilon_{1}}+\dfrac{1}{\pi+\varepsilon_{2}}
  \] que, en este caso, sí pertenece al subconjunto “B2”, ya que, en este caso la distancia que se añade es válida, es mayor que la distancia mínima: \[ \dfrac{1}{\pi+\varepsilon_{2}}>\dfrac{1}{\pi+\varepsilon_{1}} \].

Luego no es posible ir contando los elementos de “B2”.


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30 Octubre, 2019, 12:19
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola


 EDITADO


Se me ha ocurrido un ejemplo para mostrar el concepto de “contable” en lo que se refiere a los distintos tipos de infinitos y me gustaría saber si lo que digo no se opone a ningún axioma o definición (independientemente de que lo cuente con más o menos rigor).

Pues no entiendo apenas la idea que quieres transmitir; y lo que entiendo, al menos como lo has escrito, está mal. En primer lugar el ser contable o no es un concepto conjuntista y a mi me parece que tu lo estás enfocando desde un punto de vista analítico, topológico, lo cual ya me parece un error de base.

Citar
Podemos definir un subconjunto de números racionales, sea A, tal que su máximo sea “n” (un natural cualquiera) y \[ \dfrac{1}{n}
  \] sea la distancia mínima entre los elementos (siendo este “n” el mismo natural que antes).

Es bastante claro entonces que si \[ \dfrac{1}{n}
  \] es la distancia mínima en A, el siguiente más grande que él es \[ \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}
  \];
no hay ningún número entre medias que pertezca a “A”, pues para eso tendría que existir un número “a”, pertenciente a “A”, menor que el mínimo \[ \dfrac{1}{n}
  \] y tal que ocurriese esto: \[ \dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{n}+a<\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}
  \].

Pues no; no es bastante claro, porque salvo que exijas más cosas al conjunto, es falso.

Por ejemplo el conjunto \[ A=[1/2,2]\cap \mathbb{Q} \] pero el "siguiente" número a \[ 1/2 \] en ese conjunto no es \[ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \]. De hecho no hay siguiente número. Entre dos números cualquiera de A siempre puede encontrarse otro intermedio.

Este grueso error (o mala explicación de la idea) la repites más veces.

Saludos.

30 Octubre, 2019, 13:25
Respuesta #2

feriva

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Hola, Luis (para que me meteré yo en estos charcos :D ).

Sí, está mal, pero ahora explico en qué, porque hay cosas que no están mal, sino que he explicado mal.

Intento explicarme mejor, que no he definido bien eso porque no sé bien cómo hay que definirlo.

Cuando digo un subconjunto de racionales, no digo todos los racionales que hay entre \[ \dfrac{1}{n}
  \] y “n”, sino un conjunto donde hay algunos racionales. Por ejemplo, sí \[ n=2
  \], el conjunto es éste \[ \{\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{4}{2}\}
  \], y nada más, es finito.

Entonces, la distancia mínima entre los elementos es 1/2, cualquier número que esté a menos distancia de otro, no es del conjunto; los hay a más distancia, como, por ejemplo, si tomamos \[ \dfrac{1}{2}
  \] y \[ \dfrac{3}{2}
  \], que están a distancia de 1 por su diferencia en valor absoluto, pero no hay ninguno que esté a menos. Y (no sé si decir esto, porque suena fatal, pero es mejor que lo diga para que quede claro del todo) el conjunto es tal que todos los elementos son “múltiplos” de 1/2; es decir, a partir de un medio ocupan esos lugares. No sé definirlo de otra manera, perdóname. O, espera, mejor, es el conjunto de los naturales divididos entre 2 hasta el valor 2.

Ahora, en el siguiente paso, si tomo 2+1, ocurre lo mismo, tengo un conjunto en donde puedo contar los números sin que quede nadie en medio, porque hay una distancia mínima que en este caso es 1/3 y con las condiciones que he dicho antes.

No he pensado en una idea para hacer ver la numerabilidad de los racionales, ahí todos densos y tal, sino en una idea para intentar hacer ver qué es contable y que no; y hasta aquí (ya una vez explicado) por lo menos se ve que esos conjuntos son contables para cualquier “n” por grande que sea y para cualquier distancia \[ \dfrac{1}{n}
  \] por pequeña que sea. Donde nadie dice que exista una distancia mínima, sino que siempre puedo elegir un "n" tan grande como quiera particularmente para un subconjunto, lo que condiciona que la distancia sea también tan pequeña como quiera e ir formando subconjuntos más "apretados"; pero no digo que sean todos los racionales ni no lo sean.

Lo que viene después ya sí que es un error grande y no sólo una mala explicación, ahora me he dado cuenta.

Nada me impide tomar un conjunto formado por sumas de “unidades” \[ \dfrac{1}{\pi}
  \], o cualquier otro racional en concreto, conjunto que, desde luego, también es contable, lo que no puedo hacer es que esa suma llegue a valer pi, porque no hay ningún “k” entero tal que \[ k\dfrac{1}{\pi}=\pi
  \].

Puedo cambiar el máximo por un cierto \[ k\pi
  \], pero así no puedo encontrar una relación del tipo que creía estar viendo.

No sé arreglarlo, edito y lo meto en spoiler con aviso de cosa que está mal.

Muchas gracias, Luis, Saludos.