Autor Tema: Torneos 2

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29 Octubre, 2019, 09:43 am
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Julio_fmat

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Demuestre que existe un torneo con \( n \) vertices Euleriano si y solo si \( n \) es impar.

"Haz de las Matemáticas tu pasión".

29 Octubre, 2019, 10:44 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Demuestre que existe un torneo con \( n \) vertices Euleriano si y solo si \( n \) es impar.

Si es Euerliano tiene un ciclo de Euler, y por el teorema clásico de Euler, entonces todos los vértices tienen grado par. Pero como grado un torneo es un grafo completo y por tanto si tiene \( n \) vértices éstos son de grado \( n-1 \). Pero si \( n-1 \) es par, \( n \) es impar.

Recíprocamente un grafo completo \( K_n \) con \( n \) impar tiene un ciclo de Euler porque \( n-1 \) que es el grado de cada vértice es par. Orientando cada arista precisamente en el sentido de recorrido del ciclo, tenemos el torneo buscado. Nota además que en cada vértice el número de aristas salientes y entrantes es el mismo. Esto complementa la respuesta a esta otra cuestión:

Demuestre la siguiente afirmacion o encuentre un contraejemplo. En un campeonato de tenis donde todos juegan contra todos una vez, siempre es posible que todos los jugadores ganen una misma cantidad de partidos.

Si \( n \) es el número de jugadores, el número de partidos es:

\( \displaystyle\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2} \)

Si todos acaban con el mismo número de victorias, el número total de partidos debe de ser divisible entre el número de jugadores:

\( \dfrac{\dfrac{n(n-1)}{2}}{n}=\dfrac{n-1}{2} \)

Pero si \( n \) es par ese cociente nunca es entero.

Cuando \( n \) es impar siempre es posible que todos los jugadores ganen el mismo número de partidos, con el torneo construido en la forma indicada antes.

Saludos.

CORREGIDO

10 Diciembre, 2019, 05:04 am
Respuesta #2

Julio_fmat

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Hola

Demuestre que existe un torneo con \( n \) vertices Euleriano si y solo si \( n \) es impar.

Si es Euerliano tiene un ciclo de Euler, y por el teorema clásico de Euler, entonces todos los vértices tienen grado par. Pero como grado un torneo es un grafo completo y por tanto si tiene \( n \) vértices éstos son de grado \( n-1 \). Pero si \( n-1 \) es par, \( n \) es impar.

Recíprocamente un grafo completo \( K_n \) con \( n \) impar tiene un ciclo de Euler porque \( n-1 \) que es el grado de cada vértice es par. Orientando cada arista precisamente en el sentido de recorrido del ciclo, tenemos el torneo buscado. Nota además que en cada vértice el número de aristas salientes y entrantes es el mismo. Esto complementa la respuesta a esta otra cuestión:

Demuestre la siguiente afirmacion o encuentre un contraejemplo. En un campeonato de tenis donde todos juegan contra todos una vez, siempre es posible que todos los jugadores ganen una misma cantidad de partidos.

Si \( n \) es el número de jugadores, el número de partidos es:

\( \displaystyle\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2} \)

Si todos acaban con el mismo número de victorias, el número total de partidos debe de ser divisible entre el número de jugadores:

\( \dfrac{\dfrac{n(n-1)}{2}}{n}=\dfrac{n-1}{2} \)

Pero si \( n \) es par ese cociente nunca es entero.

Cuando \( n \) es impar siempre es posible que todos los jugadores ganen el mismo número de partidos, con el torneo construido en la forma indicada antes.

Saludos.


Muchas Gracias, tengo una duda con tu solucion el_manco. ¿Esta bien redactado?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

10 Diciembre, 2019, 08:41 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Muchas Gracias, tengo una duda con tu solucion el_manco. ¿Esta bien redactado?

Sinceramente tu pregunta me parece surrealista cuando no fuera de lugar.

La cuestión es, ¿tu entiendes la respuesta?.

Si la entiendes "hazla tuya" redactándola como más te guste.

Si no la entiendes, pregunta especificando la duda: "Mira el_manco (o Luis) en tal o cual frase no entiendo lo que quieres decir".

Revisando lo que he escrito se me había colado una errata, una palabra que sobraba. Lo he corregido.

Vuelve a leer la respuesta e indica si tienes alguna duda.

Saludos.