Autor Tema: Igualdad (I)

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28 Octubre, 2019, 11:17 pm
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latex

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Buenos días, tengo una pequeña duda acerca de como obtener finalmente la igualdad que veréis a continuación.

Asumiendo que se ha demostrado la igualdad \( log(1+z) = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^n+1}{n}z^n} \)  (donde \( log \) denota el logaritmo principal)  \( \forall z \in D((0,0),1) \) , se plantea el problema de intentar saber si converge o no en la frontera (menos donde el logaritmo toma la evaluación nula, que en este caso sería \( (-1,0) \)). Para ello planteamos el siguiente problema, estudiar la convergencia de la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n}(cos(\alpha)+sen(\alpha))^n} \) , \( \alpha \in (-\pi, \pi) \) ( evitamos tomar el \( (-1,0) \) )

La convergencia se puede ver como una aplicación del criterio de abel:
Sea \( \{a_n\} \) una sucesión numérica y \( \displaystyle\sum_{n=1}^{}f_n \) una serie de funciones definidas en un conjunto A.
    Criterio de Abel:
             i) La serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{}a_n \) convergente.
             ii) Para cada \( z\in A\  \{f_n(z)\} \) es una sucesión de números reales monótona y la sucesión \( \{f_n\} \) esta uniformente acotada en A.

               Entonces la serie de funciones \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n f_n} \) converge uniformemente en A

Por tanto como sabemos que converge, podemos aplicar el criterio de la continuidad radial, para obtener el valor de la suma de forma que:

\( \displaystyle\lim_{\underbrace{r \to{}1^-}_{0<r<1}}{log(1+r(cos(\alpha)+isen(\alpha)))} =\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n} e^{i n\alpha}} = log(1+\displaystyle\lim_{r \to{}1}{r}(e^{i\alpha}))= log(1+e^{i \alpha}) =  log(2cos(\displaystyle\frac{\alpha}{2})) + i\displaystyle\frac{\alpha}{2} \).

Lo único que me queda ver es que \( arctan(\displaystyle\frac{sen(\alpha)}{1+cos(\alpha)}) = \displaystyle\frac{\alpha}{2} \) pero no recuerdo muchas de las relaciones de la trigonometría (solo la del coseno y seno del ángulo doble y poco más)


Gracias de antemano,

Saludos :)

29 Octubre, 2019, 04:46 am
Respuesta #1

ingmarov

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...
Lo único que me queda ver es que \( arctan(\displaystyle\frac{sen(\alpha)}{1+cos(\alpha)}) = \displaystyle\frac{\alpha}{2} \) pero no recuerdo muchas de las relaciones de la trigonometría (solo la del coseno y seno del ángulo doble y poco más)


...

Te servirán las identidades

\( sen(\alpha)=\dfrac{2tan(\frac{\alpha}{2})}{1+tan^2(\frac{\alpha}{2})} \)

\( cos(\alpha)=\dfrac{1-tan^2(\frac{\alpha}{2})}{1+tan^2(\frac{\alpha}{2})} \)



Saludos
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29 Octubre, 2019, 05:31 pm
Respuesta #2

latex

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Hola de nuevo, he manipulado un poco la expresión, pero sigo sin ver esta cadena de desigualdades:

Sabemos que el argumento principal viene dada por la expresión \( arg(z)=2\cdot arctan\left(\displaystyle\frac{Imz}{|z| + Rez} \right) \), y si \( z\in \mathbb{R^-} \) el argumento de \( z \), \( arg(z)=\pi \) ; luego no termino de verificar la siguiente cadena de desigualdades


\( arg(1+e^{i\alpha}) = 2\cdot arctan\left(\displaystyle\frac{sen(\alpha)}{2cos(\displaystyle\frac{\alpha}{2}) + (1+cos(\alpha))} \right) =
2\cdot arctan\left(\displaystyle\frac{tan^2(\alpha / 2 )}{1+\sqrt[ ]{1 + tan^2(\alpha /2)}} \right) \underbrace{=}_{?}
    \displaystyle\frac{\alpha}{2} \)

donde he usado para el \( sen \) y \( cos  \) la indicación que propones, y para \( |z| + Rez = 1 + cos(\alpha) + 2cos(\alpha /2) = \displaystyle\frac{2}{1+tan^2(\alpha /2)} \left( 1+\sqrt[ ]{1+tan^2(\alpha /2)} \right)  \),usando para \( cos(\alpha/2)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1+tan^2(\alpha /2)}} \)


Saludos :)

29 Octubre, 2019, 07:45 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 Pero es más sencillo. Por las fórmulas del ángulo doble:

\(  sin(\alpha)=2sin(\alpha/2)cos(\alpha/2) \)
\(  cos(\alpha)=cos^2(\alpha/2)-sin^2(\alpha/2) \)

 Entonces:

\(  \dfrac{sin(\alpha)}{1+cos(\alpha)}=\dfrac{2sin(\alpha/2)cos(\alpha/2)}{1+cos^2(\alpha/2)-sin^2(\alpha/2)}=\dfrac{2sin(\alpha/2)cos(\alpha/2)}{2cos^2(\alpha/2)}=\dfrac{sin(\alpha/2)}{cos(\alpha/2)}=tan(\alpha/2) \)

Saludos.

29 Octubre, 2019, 07:59 pm
Respuesta #4

ingmarov

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Hola

Con las identidades que te propuse

\( \dfrac{sen(\alpha)}{1+cos(\alpha)}=\dfrac{\frac{2tan(\alpha /2)}{1+tan^2(\alpha /2)}}{1+\frac{1-tan^2(\alpha /2)}{1+tan^2(\alpha /2)}}=\dfrac{2tan(\alpha /2)}{1+\cancel{tan^2(\alpha /2)}+1-\cancel{tan^2(\alpha /2)}}=tan(\frac{\alpha}{ 2}) \)

Saludos
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29 Octubre, 2019, 08:34 pm
Respuesta #5

latex

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Pues muchísimas gracias a ambos:

Considerando la fórmula del argumento principal dada por:

\( arg(z)=2\cdot arctan\left(\displaystyle\frac{Imz}{|z| + Rez} \right) \), y si \( z\in \mathbb{R^-} \) , \( arg(z)=\pi \)

finalmente se ve la siguiente cadena de desigualdades;

\( arg(1+e^{i\alpha})=2\cdot arctan\left(\displaystyle\frac{sen(\alpha)}{2cos(\alpha /2) + (1+cos(\alpha))} \right) = 2\cdot arctan\left(\displaystyle\frac{2cos(\alpha /2)sen(\alpha /2)}{2cos(\alpha /2) \underbrace{(1+cos(\alpha /2)}_{2cos(\alpha /4)})} \right) =...= 2\cdot \displaystyle\frac{\alpha}{4} = \displaystyle\frac{1}{2}  \)

Duda resuelta.

Saludos :)