Autor Tema: UTF5 por contradicción

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28 Octubre, 2019, 09:24 pm
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Fernando Moreno

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Hola,

Supongo en  \( \mathbb{Z}[\omega] \) ,  para  \( \omega=cos\dfrac{2\pi}{5}+i\,sen\dfrac{2\pi}{5}\,=\,e^{\frac{2\pi i}{5}} \) ,  que:  \( x^5+y^5+z^5=0 \) ;  siendo  \( x,y,z \)  enteros usuales y coprimos 2 a 2. 

1)  \( -z^5=x^5+y^5\,=\,(x+y)\,(x+\omega y)\,(x+\omega^2 y)\,(x+\omega^3 y)\,(x+\omega^4 y) \) .

2)  \( x+\omega^4 y=-(\omega^3+\omega^2+\omega+1)y+x\,=\,-(\omega+1)(\omega^2+1)y+x \) .

      Luego:  \( \pmb{x^5+y^5=(x+y)\,(x+\omega y)\,(x+\omega^2 y)\,(x+\omega^3 y)\,(-(\omega+1)\,(\omega^2+1)y+x)} \) .

3)  \( 5=(\omega^3-\omega-1)\,\pi^4 \)   \( \wedge \)   \( \pi=\omega-1 \) .

4)  \( \omega-1=\omega^6-1\,=\,(\omega^3+1)\,(\omega^3-1)\,=\,(\omega+1)\,(\omega-1)\,(\omega^2-\omega+1)\,(\omega^2+\omega+1) \) .  Luego:  \( \omega+1\mid\pi \)   \( \wedge \)   \( \dfrac{\pi}{\omega+1}=\,(\omega-1)\,(\omega^2-\omega+1)\,(\omega^2+\omega+1)\,=\,2\omega^3+2\omega+1 \) .

5)  Supongamos, sin perder generalidad, que:  \( 5\mid x \) .  Puesto que  " \( 5 \) "  es un primo de Sophie Germain y no puede no dividir a ninguna de las tres variables.

6)  Entonces:  \( \omega+1\mid -(\omega+1)\,(\omega^2+1)y+x \) ;  pero:  \( \omega+1\nmid x^5+y^5 \) .  Lo que resulta una contradicción si todas las variables implicadas son ENTEROS de \( \pmb{{Z}[\omega]} \) .


Un saludo,
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

29 Octubre, 2019, 08:12 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Supongo en  \( \mathbb{Z}[\omega] \) ,  para  \( \omega=cos\dfrac{2\pi}{5}+i\,sen\dfrac{2\pi}{5}\,=\,e^{\frac{2\pi i}{5}} \) ,  que:  \( x^5+y^5+z^5=0 \) ;  siendo  \( x,y,z \)  enteros usuales y coprimos 2 a 2. 

1)  \( -z^5=x^5+y^5\,=\,(x+y)\,(x+\omega y)\,(x+\omega^2 y)\,(x+\omega^3 y)\,(x+\omega^4 y) \) .

2)  \( x+\omega^4 y=-(\omega^3+\omega^2+\omega+1)y+x\,=\,-(\omega+1)(\omega^2+1)y+x \) .

      Luego:  \( \pmb{x^5+y^5=(x+y)\,(x+\omega y)\,(x+\omega^2 y)\,(x+\omega^3 y)\,(-(\omega+1)\,(\omega^2+1)y+x)} \) .

3)  \( 5=(\omega^3-\omega-1)\,\pi^4 \)   \( \wedge \)   \( \pi=\omega-1 \) .

4)  \( \omega-1=\omega^6-1\,=\,(\omega^3+1)\,(\omega^3-1)\,=\,(\omega+1)\,(\omega-1)\,(\omega^2-\omega+1)\,(\omega^2+\omega+1) \) .  Luego:  \( \omega+1\mid\pi \)   \( \wedge \)   \( \dfrac{\pi}{\omega+1}=\,(\omega-1)\,(\omega^2-\omega+1)\,(\omega^2+\omega+1)\,=\,2\omega^3+2\omega+1 \) .

5)  Supongamos, sin perder generalidad, que:  \( 5\mid x \) .  Puesto que  " \( 5 \) "  es un primo de Sophie Germain y no puede no dividir a ninguna de las tres variables.

6)  Entonces:  \( \omega+1\mid -(\omega+1)\,(\omega^2+1)y+x \) ;  pero:  \( \omega+1\nmid x^5+y^5 \) .  Lo que resulta una contradicción si todas las variables implicadas son ENTEROS de \( \pmb{{Z}[\omega]} \) .

A vuelapluma la misma crítica que aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=111056.msg439070;topicseen#msg439070

Saludos.

29 Octubre, 2019, 04:46 pm
Respuesta #2

Fernando Moreno

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Hola,

Este caso me temo que es similar al visto por Luis en el UTF3. Tenemos que:  \( (\omega+1)\,(\omega^2-\omega+1)\,(\omega^2+\omega+1)=1 \) .  Luego:  \( N(\,(\omega+1)\,(\omega^2-\omega+1)\,(\omega^2+\omega+1)\,)=1 \) .  Como la Norma es multiplicativa -si no recuerdo mal del hilo sobre estos temas de Carlos Ivorra- entonces, por fuerza:  \( N(\omega+1)=1 \)  y es una unidad en  \( \mathbb{Z}[\omega] \) .

Saludos,
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