Autor Tema: UTF3 por contradicción

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28 Octubre, 2019, 09:17 pm
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Fernando Moreno

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Hola. Por cierto, algo más sencillito..

Supongo en  \( \mathbb{Z}[\omega] \) ,  los enteros de Eisenstein, para  \( \omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}\,=\,e^{\frac{2\pi i}{3}} \) ,  que:  \( x^3+y^3+z^3=0 \) ;  siendo  \( x,y,z \)  enteros usuales y coprimos 2 a 2. 

1)  \( -z^3=x^3+y^3\,=\,(x+y)\,(x+\omega y)\,(x+\omega^2 y) \) .

2)  \( x+\omega^2 y=-\omega y+x-y\,=\,-(\omega+1)y+x \) .

      Luego:  \( \pmb{x^3+y^3=(x+y)\,(x+\omega y)\,(-(\omega+1)y+x)} \) .

3)  \( 3=-\omega^2\pi^2 \)   \( \wedge \)   \( \pi=\omega-1 \) .

4)  \( \omega-1=\omega^4-1\,=\,(\omega^2+1)\,(\omega+1)\,(\omega-1) \) .  Luego:  \( \omega+1\mid\pi \)   \( \wedge \)   \( \dfrac{\pi}{\omega+1}=(\omega^2+1)\,(\omega-1)\,=\,2\omega+1 \) .

5)  Supongamos, sin perder generalidad, que:  \( 3\mid x \) .  Puesto que  “ \( 3 \) “  debe dividir a una de las tres variables.

6)  Entonces:  \( \omega+1\mid -(\omega+1)y+x \) ;  pero:  \( \omega+1\nmid x^3+y^3 \) .  Lo que resulta una contradicción si todas las variables implicadas son ENTEROS de Eisenstein.


Un saludo,
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

29 Octubre, 2019, 08:10 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Supongo en  \( \mathbb{Z}[\omega] \) ,  los enteros de Eisenstein, para  \( \omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}\,=\,e^{\frac{2\pi i}{3}} \) ,  que:  \( x^3+y^3+z^3=0 \) ;  siendo  \( x,y,z \)  enteros usuales y coprimos 2 a 2. 

1)  \( -z^3=x^3+y^3\,=\,(x+y)\,(x+\omega y)\,(x+\omega^2 y) \) .

2)  \( x+\omega^2 y=-\omega y+x-y\,=\,-(\omega+1)y+x \) .

      Luego:  \( \pmb{x^3+y^3=(x+y)\,(x+\omega y)\,(-(\omega+1)y+x)} \) .

3)  \( 3=-\omega^2\pi^2 \)   \( \wedge \)   \( \pi=\omega-1 \) .

4)  \( \omega-1=\omega^4-1\,=\,(\omega^2+1)\,(\omega+1)\,(\omega-1) \) .  Luego:  \( \omega+1\mid\pi \)   \( \wedge \)   \( \dfrac{\pi}{\omega+1}=(\omega^2+1)\,(\omega-1)\,=\,2\omega+1 \) .

5)  Supongamos, sin perder generalidad, que:  \( 3\mid x \) .  Puesto que  “ \( 3 \) “  debe dividir a una de las tres variables.

6)  Entonces:  \( \omega+1\mid -(\omega+1)y+x \) ;  pero:  \( \omega+1\nmid x^3+y^3 \) .  Lo que resulta una contradicción si todas las variables implicadas son ENTEROS de Eisenstein.

Pero si no me equivoco \( \omega+1 \) es una unidad de los enteros de Eisenestein.

Spoiler
De hecho:

\( (\omega+1)=-\omega^2=\dfrac{1}{-\omega}
 \)
[cerrar]

Entonces divide a cualquier número, incluido \( x^3+y^3 \). No veo ninguna contradicción.

Saludos.

29 Octubre, 2019, 12:38 pm
Respuesta #2

Fernando Moreno

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Hola Luis,

Ya después de publicarlo, anoche, me pareció que no podía estar bien. Pero tú has dado con la explicación exacta. Gracias
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