[GMat]

Saludos. He estado leyendo el Do Carmo de Geometría Riemanniana, la sección de geodesicas y me surgieron estas dudas:

1) En la proposición 2.5 aparece: Dado \( p\in M \), existe un abierto \( V\subset M \), \( p\in V \), números \( \delta,\epsilon \) positivos y un mapa \( C^\infty \) \( \psi(-\delta,\delta)\times U\to M \) con \( U=\{(q,v): q\in V, v\in T_qM, \epsilon>|v|\} \) tal que la curva \( t\to\psi(t,q,v) \), \( t\in(-\delta,\delta) \) es la única geodésica que en \( t=0 \) pasa por \( q \) con velocidad \( v \) y \( (q,v)\in U \).

No me queda claro como debe de ser tomado ese \( V \) para que eso tenga sentido, allí aparece que existe pero en el libro no demuestra eso,  ni tampoco dice que clase de propiedades o forma debe tener \( V \) para que se de la existencia del \( U \). ¿Podría slguien explicarme eso?

2) En la pagina 69 se enuncia y demuestra el lema de Gauss (lema 3.5) y establce lo siguiente:

Dado que \( w\in T_pM\approx{T_vT_pM} \) podemos tomaqr \( w=w_T+w_N \). Donde \( w_T \) es paralelo a \( v \) y \( w_N \) es normal a \( v \). ¿Podrian decirme por que \( w=w_T+w_N \)?

También me dice que \( (d\mathrm{exp}_p)_v(w_T)=w_T \). ¿Por que es esto?

Gracias de antemano y disculpen que pregunte tanto acerca de razonamientos de un libro, pero no tengo profesor al que preguntarle.

[geómetracat]

Sobre 1), el teorema lo único que te dice es que existe un abierto \( V \) de la variedad que contiene a \( p \) y que cumple lo que pones. En principio podría ser cualquier abierto.
Este teorema se prueba aplicando resultados estándar de ecuaciones diferenciales (existencia y unicidad, más dependencia diferenciable de las condiciones iniciales) a la ecuación geodésica, tomando una carta alrededor de \( p \) y expresándolo todo en coordenadas locales para reducirlo a \( \Bbb R^n \) y poder aplicar los resultados de EDOs. Si lo haces así, obtendrás un \( V \) que es un subconjunto de alguna carta. Pero muchas veces (por ejemplo, si la variedad es compacta), puedes tomar \( V \) igual a toda la variedad.

Sobre 2), fíjate que \( v,w \) son vectores de \( T_pM \), y que \( T_pM \) es un espacio vectorial euclídeo (dotado de un producto escalar). Por tanto, el resultado se reduce a una cuestión de álgebra lineal: dado un vector \( v \) puedes descomponer cualquier otro vector \( w \) como \( w= w_t + w_n \), donde \( w_t \) es paralelo a \( v \) y \( w_n \) es normal a \( v \). Esto siempre se puede hacer tomando como \( w_t \) la proyección ortogonal de \( w \) al subespacio \( \langle v \rangle \) y \( w_n=w-w_t \).

También me dice que \( (d\mathrm{exp}_p)_v(w_T)=w_T \). ¿Por que es esto?

Esto es porque \( w_t=\lambda v \), para algún escalar \( \lambda \), la diferencial de cualquier aplicación es lineal, y \( (d\mathrm{exp}_p)_v(v)=v \). (Cuidado: esto no es del todo verdad. Ver lo que digo en:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=111120.)
Esto último es un pequeño cálculo, tomando la recta en \( T_pM \) dada por \( (t+1)v \) y calculando la derivada de la exponencial aplicada a la recta en \( t=0 \), teniendo en cuenta que por definición la exponencial envía rectas que pasan por el origen a geodésicas que pasan por \( p \).

Cualquier duda que te quede no dudes en preguntar de nuevo.

[GMat]

Muchas gracias por la respuesta, me quedo claro. Aunque no he buscado construir ese \( V \) que aparece allí.

Respecto al resultado de álgebra lineal, me puedes dar una referencia donde encontrarlo, o donde encontrar ese tipo de cosas. No recuerdo haberlo visto antes.

Una última pregunta ¿Por que \( \mathrm{exp}_p(0)=0 \), intuitivamente me parece que es porque en la definición de exponencial es un punto obtenido al recorrer una distancia \( |v| \) una geodésica que pasa por \( p \), con vector velocidad \( v \) y al tomar \( v=0 \) sería como "no moverse" sobre la geodésica. Pero no se si esta es la manera correcta de verlo y tampoco se como mostrarlo formalmente.

Saludos

[geómetracat]

El resultado de álgebra lineal debería aparecer en cualquier libro, o en google si pones "proyección ortogonal". De todas maneras te lo explico para este caso, porque es corto y fácil de explicar.

Define \( w_t = \frac{\langle w, v \rangle}{\langle v,v \rangle}v \), donde \( \langle \cdot, \cdot \rangle \) es el producto escalar definido en el espacio vectorial (en tu caso, el inducido por la métrica riemanniana en el espacio tangente). Es claro que por definición \( w_t \) es paralelo a \( v \). Ahora define \( w_n=w-w_t \). Lo único que hay que ver es que este vector es ortogonal a \( v \). En efecto:
\( \langle w_n,v \rangle = \langle w,v \rangle - \langle \frac{\langle w,v \rangle }{\langle v,v \rangle} v, v \rangle = \langle w,v \rangle - \langle w,v \rangle = 0 \).

Sobre lo otro, creo que quieres decir \( exp_p(0)=p \). La idea intuitiva que tienes es buena. Más rigurosamente, recuerda que \( exp_p(v) = \gamma_v(1) \) donde \( \gamma_v(t) \) es la (única) geodésica que cumple \( \gamma_v(0)=p \) y \( \gamma_v'(0)=v \).
Si definimos la curva constante \( \gamma(t)=p \), se comprueba fácilmente que \( \gamma(0)=p, \gamma'(0)=0 \) y que es una geodésica (cumple la ecuación diferencial). Luego, \( exp_p(0)= \gamma(1)=p \).

[GMat]

No me había llegado la notificación de la respuesta (de nuevo). Si, me había equivocado, quería preguntar era sobre por que \( exp_p(0)=p \)

 ¡Muchas gracias por ambas respuestas!

[GMat]

Saludos. Me gustaría preguntarte lo siguiente

Esto es porque \( w_t=\lambda v \), para algún escalar \( \lambda \), la diferencial de cualquier aplicación es lineal...

Podrías explicarme eso. aun si la aplicación no es lineal ¿la diferencial siempre lo es? Logre llegar al resultado de la aplicación exponencial tomándome la curva \( \alpha(t)=(\lambda t+1)v \) sobre \( T_pM \), esa curva cumple en \( t=0 \) pasa por \( v \) y tiene como vector tangente a \( \lambda v=w_T \). se que al derivar en \( t=0 \) tendré \( \frac{d}{dt}\gamma((\lambda t+1),p,v)|_{t=0}=\lambda\gamma'(((\lambda t+1),p,v)|_{t=0}=\lambda\gamma(1,p,v)=\lambda P(v) \) donde \( P(v) \) es el transporte paralelo de \( v \)

Pero eso es desarrollando el argumento por la aplicación exponencial y no en base a lo que colocaste alli. Me gustaria saber el argumento de la difrencial de una aplicación.

Gracias de antemano

[geómetracat]

Podrías explicarme eso. aun si la aplicación no es lineal ¿la diferencial siempre lo es?

Sí, por supuesto. De hecho, ¡es la ventaja principal de la diferencial! Por eso es tan importante la diferencial de una aplicación en geometría diferencial: la diferencial de una aplicación entre variedades (luego no necesariamente lineal) en un punto puede pensarse como la "linealización de la aplicación" en ese punto, lo cual te da muchísima información de cómo es tu aplicación en un entorno muy pequeño de ese punto. La demostración la deberías encontrar en cualquier libro introductorio sobre variedades. Por ejemplo, lo tienes en la proposición 2.7 del capítulo 0 del Do Carmo.

Depende de qué definición uses de vector tangente en una variedad la demostración es inmediata (por ejemplo, si ves los vectores tangentes como derivaciones), o no tan inmediata (por ejemplo, si ves los vectores tangentes como clases de equivalencias de curvas), pero en cualquier caso es un resultado básico. También es básico el hecho de que la matriz asociada a la diferencial de una aplicación \( f \) en un punto, en coordenadas locales en una carta alrededor de ese punto, coincide con la matriz Jacobiana de \( f \) expresada en coordenadas locales.

Asegúrate de tener esto claro y entenderlo muy bien antes de seguir con el estudio de la geometría Riemanniana. Te ahorrará muchos problemas en el futuro.

Al margen de esto, lo que pones con el transporte paralelo está bien. Lo único que te ahorra aquí la linealidad de la diferencial es poder decir que \( d(exp_p)_v(\lambda v) = \lambda d(exp_p)_v(v) \). Después el argumento de que \( d(exp_p)_v(v)=P(v) \) es el transporte paralelo es lo mismo que has puesto.

[GMat]

Muchísimas gracias. Ya lo vi y seguiré tu consejo, me detendré a leer ese capítulo del Do Carmo antes de proseguir con mi estudio de la Geometría Riemanniana.

De nuevo gracias por el tiempo para responder mis dudas.