Autor Tema: Polinomio mínimo de \(e^{2\pi i /3}\) sobre \(\mathbb Q\)

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28 Octubre, 2019, 01:08 am
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Juan Sánchez

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El polinomio mínimo de \( e^{2\pi i /3} \) sobre \( \mathbb Q \) es \( x^2+x+1 \)?

Más en general, he leído que el polinomio irreducible de \( e^{2\pi i /(n+1)} \) sobre \( \mathbb {Q} \) es \( x^n+x^{n-1}+ ... +1 \), por qué?

Si para verlo hay que demostrar que \( x^{p-1}+x^{p-2}+ ... +1 \) es irreducible sobre los polinomios en \( \mathbb{Q} \) para cualquier \( p \) primo, podemos obviar esta parte, ya entendí la demostración que lo veía.

Muchas gracias.

28 Octubre, 2019, 11:20 am
Respuesta #1

geómetracat

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Sí, si \( n+1=p \) es primo. Por un lado, \( \xi = e^{2\pi i/(n+1)} \) es claramente raíz de ese polinomio, pues al ser raíz de la unidad, se tiene que es raíz de \( x^{n+1}-1 \), pero \( x^{n+1}-1 = (x-1)(x^n + x^{n-1} + \dots + 1) \) y \( \xi \neq 1 \), luego debe ser raíz del segundo factor.

Ahora, el polinomio mínimo de \( \xi \) es un polinomio mónico con coeficientes racionales que divide a cualquier polinomio con coeficientes racionales que tenga \( \xi \) como raíz. En particular, el polinomio mínimo divide a \( x^n + x^{n-1} + \dots + 1 \). Pero como este último polinomio es irreducible ( cosa que dices que ya has visto) y mónico, el polinomio mínimo de \( \xi \) deberá ser \( x^n + x^{n-1} + \dots + 1 \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

28 Octubre, 2019, 11:44 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 Sólo un apunte: esto es para \( n+1=p \) primo. En otro caso no es cierto.

Saludos.

28 Octubre, 2019, 01:58 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Ups, gracias por darte cuenta Luis, ya está corregido.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

29 Octubre, 2019, 08:52 pm
Respuesta #4

Juan Sánchez

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Por qué es únicamente para \( n+1=p \) primo?

Si, por ejemplo, quisiera calcular el polinomio mínimo de \( e^{2\pi i/8} \) sobre \( \mathbb{Q} \), qué tendria que hacer?

30 Octubre, 2019, 07:39 am
Respuesta #5

geómetracat

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Porque si \( m|n+1 \), cualquier raíz \( m \)-ésima de la unidad es también raíz \( (n+1) \)-ésima, lo que implica que el polinomio mínimo de \( e^{2\pi i/m} \) divide a \( x^n + x^{n-1} + \dots + 1 \), y por tanto este último polinomio no es irreducible.

Para calcular el polinomio mínimo de \( \xi = e^{2 \pi i i/8} \) lo que puedes hacer es factorizar \( x^8-1 \), pues claramente \( \xi \) es raíz de este polinomio, y después identificar entre los factores al polinomio mínimo de \( \xi \). Para ello, fíjate que \( 2,4|8 \) y que \( 1 \) es raíz, luego los polinomios mínimos de la raíz cuadrada primitiva de la unidad (que es \( -1 \)), de la raíz cuarta (que es \( i \)) y \( x-1 \) dividen a nuestro polinomio. Como el polinomio mínimo de \( -1 \) es \( x+1 \) y el de \( i \) es \( x^2+1 \), podemos escribir:
\( x^8-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)q(x) \).
Haciendo la división se encuentra que \( q(x)=x^4+1 \). Puedes comprobar que este polinomio es irreducible y por tanto es el polinomio mínimo de \( \xi \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

12 Junio, 2020, 10:57 pm
Respuesta #6

marinavzqz

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Hola, ¿cómo sería el polinomio mínimo de \( e^{2pi i/18} \)? ¿igual que el que habéis puesto de 8? Gracias.

13 Junio, 2020, 09:45 am
Respuesta #7

geómetracat

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Pues es la misma idea, sí. Como \( 18=2\cdot 3^2 \), tienes que \( x^{18}-1 \) es el producto de los polinomios mínimos de las raíces primitivas de orden \( 1,2,3,9,6,18 \). Así pues, \( x^{18}-1 = (x-1)(x+1)(x^2+x+1)m_6(x)m_9(x)m_18(x) \).
Primero hay que calcular \( m_6(x) \) y \( m_9(x) \), que se hace del mismo modo, y una vez los tienes haces una división de polinomios para obtener \( m_{18}(x) \) a partir de la expresión de arriba.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)