Autor Tema: Grupos resolubles

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13 Junio, 2020, 12:21 pm
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marinavzqz

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Hola,
me piden probar que todo grupo de orden potencia de primo es resoluble. como indicación dice que se puede usar que todo grupo de G de orden potencia de primo tiene centro Z(G)≠{1}.

Gracias

13 Junio, 2020, 02:51 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Recuerda que un grupo \( G \) es resoluble si existe una serie finita de subgrupos cada uno normal en el siguiente qie acaba en el subgrupo trivial:
\( G =G_0 \unrhd G_1 \unrhd \dots \unrhd G_n=\{e\} \)
y tal que se cumple para cada \( i \) que \( G_i/G_{i-1} \) es abeliano.

Ahora, para probar que todo \( p \)-grupo es resoluble, puedes proceder por inducción en la potencia de primo. Sea \( |G|=p^r \), y procedemos por inducción en \( r \). Si \( r=1 \), \( |G| \) es abeliano y la serie \( G \unrhd \{e\} \) nos vale para ver que es resoluble.
Supón ahora que es cierto para todo grupo \( H \) con \( |H|=p^k \) y \( k<r \).
Sea \( G \) con \( |G|=p^r \). Entonces, \( Z(G) \) es abeliano y de orden mayor que \( 1 \). Luego el cociente \( G/Z(G) \) es un grupo de orden \( p^k \) para algún \( k<r \), luego por hipótesis de inducción es resoluble y tiene una serie finita con las propiedades que hemos dicho. Ahora puedes conseguir una serie para \( G \) considerando la antiimagen de la serie para \( G/Z(G) \) por la proyección canónica \( G \to G/Z(G) \) y añadiendo el término \( Z(G) \) al final.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)