Autor Tema: UTF4 por contradicción

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27 Octubre, 2019, 03:29 pm
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Fernando Moreno

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Hola,

Supongo que:  \( z^4=x^4+y^4 \) ;  para  \( x,y,z \)  enteros, coprimos dos a dos y que  \( x\not\equiv \) y  mod \( 2 \) .

Por tanto:  \( (z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2 \)  y sus soluciones en forma de ternas pitagóricas serán:

\( z^2=p^2+q^2 \)  ,  \( x^2=2pq \)  ,  \( y^2=p^2-q^2 \) ;  para  \( p,q \)  coprimos -y-  \( q \)  par.

Como:  \( p^2=y^2+q^2 \)  \( \wedge \)  \( z^2=p^2+q^2 \) .  Serán asimismo soluciones en forma de ternas pitagóricas:

\( p=a^2+b^2 \)  ,  \( y=a^2-b^2 \)  ,  \( q=2ab \)    \( \wedge \)    \( z= c^2+d^2 \)  ,  \( p=c^2-d^2 \)  ,  \( q=2cd \)

; para  \( a,b \)  enteros y coprimos  \( \wedge \)  \( c,d \)  enteros y coprimos, uno de cada pareja par.

Y como:  \( x^2=2pq \) ;  entonces:  \( p=p_1^2 \)   \( \wedge \)   \( q=2q_1^2 \) .

Más aún, tendrán también la forma de soluciones en ternas pitagóricas:


\( \pmb{c^2=p_1^2+d^2} \)  :  \( c=e^2+f^2 \)  ,  \( p_1=e^2-f^2 \)  ,  \( d=2ef \) ;  para:  \( e,f \)  enteros y coprimos.

\( \pmb{z= c^2+d^2} \)  :  \( \sqrt{z}=g^2+h^2 \)  ,  \( c=g^2-h^2 \)  ,  \( d=2gh \) ;  para:  \( g,h \)  no enteros ni racionales y coprimos.


Por lo que:  \( d=2ef\,=\,2gh \)   \( \wedge \)   \( ef=gh \) .  De donde podemos deducir, sin pérdida de generalidad, que:  \( g=g_1g_2 \) ,  para  \( g_1 \) \( \wedge \) \( g_2 \)  no racionales y coprimos y:  \( h=h_1h_2 \) ,  para  \( h_1 \) \( \wedge \) \( h_2 \)  no racionales y coprimos; tales que:  " \( g_1h_2=\pmb{e} \) "   \( \wedge \)   " \( g_2h_1=\pmb{f} \) " .


Estrategia: En el caso del UTF para n = 2, donde es verdadero que:  \( z^2=x^2+y^2 \) .  Tenemos que para las ternas pitagóricas:  \( z=p'^2+q'^2 \)  ,  \( x=2p'q' \)  ,  \( y=p'^2-q'^2 \) ;  y las ternas solución a su vez de  \( \pmb{z=p'^2+q'^2} \)  :  \( \sqrt{z}=a'^2+b'^2 \)  ,  \( p’=a’^2-b'^2 \)  ,  \( q’=2a’b’ \)   y de   \( \pmb{p’^2=y+q’^2} \)  :  \( p’=c’^2+d’^2 \)  ,  \( \sqrt{y}=c’^2-d’^2 \)  ,  \( q’=2c’d’ \) . Tanto  \( a’ \)  \( \wedge \)  \( b’ \)  ,  como  \( c’ \)  \( \wedge \)  \( d’ \)  no son racionales. Esto no es lo que nos hemos encontrado antes. Pues si bien  \( g \)  \( \wedge \)  \( h \)  no son efectivamente racionales;  \( \pmb{e} \)  \( \wedge \)  \( \pmb{f} \)  sí que lo son. Así que probablemente esto es señal de una contradicción.


“ \( g_1,g_2,h_1,h_2 \) “  son un tipo de irracionales cuadráticos algebraicos. Y como números construibles, esto es, que se obtienen a partir de otros números construibles (los enteros) usando solamente las 4 operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas. Podrán tener básicamente la forma de la raíz cuadrada de un entero (no cuadrado):  \( \sqrt{x’} \) ;  la de la raíz cuadrada de esta raíz  (\( \sqrt{\sqrt{x’}} \)) ,  pues siempre es posible construir la raíz cuadrada de cualquier número construible; la de una combinación lineal de estas raíces de enteros no cuadrados y de otros que sí pueden serlo:  \( m\sqrt{x'}\pm n \)  (si pongo la expresión:  " \( m\sqrt{x'}\pm n\sqrt{\sqrt{y’}}\pm s \) " ,  podría ser la de un entero); o la forma de la raíz cuadrada de un irracional que no sea a su vez raíz no cuadrada de otro número:  \( \sqrt{\sqrt{m\pm n\sqrt{s\pm t\sqrt{u\pm.\,.}}}} \) ;  (para  \( m,n,s,t,u \)  enteros o racionales -y-   \( x’ \)  un entero no cuadrado).


Tomemos como referencia:  \( \sqrt{z}=g^2+h^2 \)  ,  \( c=g^2-h^2 \)  \( \wedge \)  \( d=2gh \) .  Si construimos:  \( g=\sqrt{\sqrt{x’}+m} \)   \( \wedge \)   \( h=\sqrt{\sqrt{x’}-m} \) ; tendremos que:


1)  \( \pmb{c=g^2-h^2}\,=\,\sqrt{x’}+m-\sqrt{x’}+m\,=\,2m \)  (si suponemos que  “ \( 2m \) “  es un racional entero).

2)  \( \pmb{\sqrt{z}=g^2+h^2}\,=\,\sqrt{x’}+m+\sqrt{x’}-m\,=\,2\sqrt{x’} \)

3)  \( \pmb{d=2gh}\,=\,2\left( \sqrt{\sqrt{x’}+m}\right)\cdot\left( \sqrt{\sqrt{x’}-m}\right)\,=\,2\sqrt{x-m^2} \)  (que será entero siempre y cuando  “ \( x-m^2 \) “  sea un cuadrado entero).


Construyamos ahora:  \( g_1,g_2,h_1,h_2 \) .  Como los 4 son coprimos entre sí, no puedo representarlos como la raíz cuadrada de un entero no cuadrado  (\( \sqrt{x’} \)) -ni la raíz cuadrada de su raíz-;  pues ninguno de sus productos podrá dar lugar a un cuadrado. Luego sólo podrá ser una combinación lineal de las anteriores raíces y si acaso enteros; siendo esta combinación a su vez una raíz cuadrada (o cuarta..) o no. De esta manera, no pierdo generalidad si establezco lo siguiente:


    \( g_1=\sqrt{\sqrt{y’}+m} \)

    \( g_2=\sqrt{\sqrt{z’}-n} \)

    \( h_1=\sqrt{\sqrt{z’}+n} \)

    \( h_2=\sqrt{\sqrt{y’}-m} \)


Para  \( y’,z’ \)  enteros no cuadrados -y-  \( m,n \)  enteros.

Efectivamente:  \( g_1h_2=\sqrt{y’-m^2} \) .  Que será entero si  “ \( x’-m^2 \) “  es un cuadrado. Supongamos que sí. Y :  \( g_2h_1=\sqrt{z’-n^2} \) .  Que será entero si  “ \( y’-n^2 \) “  es un cuadrado; cosa que vamos a suponer. Luego sí cumplimos con estas condiciones que pusimos. Que harán que también:  \( \pmb{d=2gh} \)   sea entero.   

Ya sólo nos queda verificar que:  \( \pmb{c=g^2-h^2} \)    \( \wedge \)    \( \pmb{\sqrt{z}=g^2+h^2} \) .

Pues bien, esto no es posible. Veamos por qué:


1)  \( \boldsymbol{c=g^2-h^2}\,=\,\left( \sqrt{\sqrt{y’}+m}\right)^2\cdot\left( \sqrt{\sqrt{z’}-n}\right)^2-\left( \sqrt{\sqrt{z’}+n}\right)^2\cdot\left( \sqrt{\sqrt{y’}-m}\right)^2 \)

\( =\,\left(\sqrt{y’}+m\right)\left(\sqrt{z’}-n\right)-\left(\sqrt{z’}+n\right)\left(\sqrt{y’}-m\right) \)

\( =\,\sqrt{y’z’}-n\sqrt{y’}+m\sqrt{z’}-mn-\sqrt{z’y’}+m\sqrt{z’}-n\sqrt{y’}+mn \)

\( =\,2m\sqrt{z’}-2n\sqrt{y’} \) .

Ahora lo elevamos al cuadrado para saber si es racional ó no:

    \( 4m^2z’+4n^2y’-8mn\sqrt{y’z’} \) .

Y vemos que podrá ser entero sólo si  “ \( y’z’ \) “  es un cuadrado.


2)  \( \pmb{\sqrt{z}=g^2+h^2}\,=\,\left( \sqrt{\sqrt{y’}+m}\right)^2\cdot\left( \sqrt{\sqrt{z’}-n}\right)^2+\left( \sqrt{\sqrt{z’}+n}\right)^2\cdot\left( \sqrt{\sqrt{y’}-m}\right)^2 \)

\( =\,\left(\sqrt{y’}+m\right)\left(\sqrt{z’}-n\right)+\left(\sqrt{z’}+n\right)\left(\sqrt{y’}-m\right) \)

\( =\,\sqrt{y’z’}-n\sqrt{y’}+m\sqrt{z’}-mn+\sqrt{z’y’}-m\sqrt{z’}+n\sqrt{y’}-mn \)

\( =\,2\sqrt{y’z’}-2mn \) . 


Y vemos que sólo será irracional si  “ \( y’z’ \) “  no es un cuadrado; pero que si no lo es, entonces hará irracional á  “ c “ .


La conclusión es que si:  \( g_1h_2=e \)   \( \wedge \)   \( g_2h_1=f \) , para  \( e,f \)  enteros y  \( g_1,g_2,h_1,h_2 \)  irracionales cuadráticos; no es posible ” construir algebraicamente” (*) :  \( \pmb{z=c^2+d^2} \) . Lo que es una contradicción si:  <<  \( \pmb{z^4=x^4+y^4} \)  >> .


(*) Por supuesto que sí sería construible mediante regla y compás, al igual que en el caso del UTF2. Puesto que la regla que se utiliza no tiene "medidas". El problema vendría cuando le ponemos medidas y vemos la diferencia entre enteros e irracionales.    -EDITADO-


Un saludo,
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28 Octubre, 2019, 08:16 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

\( \pmb{z= c^2+d^2} \)  :  \( \sqrt{z}=g^2+h^2 \)  ,  \( c=g^2-h^2 \)  ,  \( d=2gh \) ;  para:  \( g,h \)  no enteros ni racionales y coprimos.

Ahí no entiendo lo que haces. La caracterización para ternas pitagóricas surge cuando realmente tenemos una terna pitagórica, es decir, un cuadrado como suma de otros dos.

Ahí tenemos una ecuación \( c^2+d^2=z \) donde simplemente decimos que dos cuadrados sumados dan otro número; esto siempre es así. No se deduce ninguna condición especial para \( c \) y \( d \) de eso.

Es cierto que uno podrá encontrar números \( g,h \) cumpliendo \( c=g^2-h^2 \)  ,  \( d=2gh \), pero si no son enteros no se en que sentido estás hablando de coprimalidad.

Saludos.

28 Octubre, 2019, 09:41 am
Respuesta #2

Fernando Moreno

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Hola,

...pero si no son enteros no se en que sentido estás hablando de coprimalidad.

El sentido de la coprimalidad que he entendido es el siguiente:

Parto de  \( z=c^2+d^2 \) ,  para  \( d \)  por ejemplo par. Luego existirá un  \( d_1=\dfrac{d}{2} \)  -y- un  \( x'=\dfrac{\sqrt{z}+c}{2} \)  -y- un  \( y'=\dfrac{\sqrt{z}-c}{2} \) .  Luego:  \( d_1^2=\dfrac{d^2}{4}\,=\,x'y' \)

De la suma:  \( \dfrac{\sqrt{z}}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{\sqrt{z}}{2}-\dfrac{c}{2}\,=\,\sqrt{z} \)

De la diferencia:  \( \dfrac{\sqrt{z}}{2}+\dfrac{c}{2}-\dfrac{\sqrt{z}}{2}+\dfrac{c}{2}\,=\,c \)

\( c\,\wedge\,\sqrt{z} \)  son coprimos porque lo son:  \( c^2\,\wedge\,z \)

Luego:  \( d_1^2=x'y'\,\Rightarrow\,x'=p'^2\,\wedge\,y'=q'^2 \)  Y etc, etc

Si esto está mal, desde luego todo lo que sigue está mal. Una pena, me lo había currado. Pero bueno, como siempre he aprendido. Me ha gustado mucho saber sobre los números construibles.

Un saludo,   
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28 Octubre, 2019, 10:25 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

...pero si no son enteros no se en que sentido estás hablando de coprimalidad.

El sentido de la coprimalidad que he entendido es el siguiente:

Parto de  \( z=c^2+d^2 \) ,  para  \( d \)  por ejemplo par. Luego existirá un  \( d_1=\dfrac{d}{2} \)  -y- un  \( x'=\dfrac{\sqrt{z}+c}{2} \)  -y- un  \( y'=\dfrac{\sqrt{z}-c}{2} \) .  Luego:  \( d_1^2=\dfrac{d^2}{4}\,=\,x'y' \)

De la suma:  \( \dfrac{\sqrt{z}}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{\sqrt{z}}{2}-\dfrac{c}{2}\,=\,\sqrt{z} \)

De la diferencia:  \( \dfrac{\sqrt{z}}{2}+\dfrac{c}{2}-\dfrac{\sqrt{z}}{2}+\dfrac{c}{2}\,=\,c \)

\( c\,\wedge\,\sqrt{z} \)  son coprimos porque lo son:  \( c^2\,\wedge\,z \)

Aquí parece que estás diciendo que dos números cuyo cuadrado es entero les llamas coprimos si lo son sus cuadrados. Pero \( g \) y \( h \) no son enteros y sus cuadrados tampoco. ¿A qué estás llamando ahí coprimos?.

Más aun. Después de echar un vistazo por encima a todo esto:

“ \( g_1,g_2,h_1,h_2 \) “  son un tipo de irracionales cuadráticos algebraicos. Y como números construibles, esto es, que se obtienen a partir de otros números construibles (los enteros) usando solamente las 4 operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas. Podrán tener básicamente la forma de la raíz cuadrada de un entero (no cuadrado):  \( \sqrt{x’} \) ;  la de la raíz cuadrada de esta raíz  (\( \sqrt{\sqrt{x’}} \)) ,  pues siempre es posible construir la raíz cuadrada de cualquier número construible; la de una combinación lineal de estas raíces de enteros no cuadrados y de otros que sí pueden serlo:  \( m\sqrt{x'}\pm n \)  (si pongo la expresión:  " \( m\sqrt{x'}\pm n\sqrt{\sqrt{y’}}\pm s \) " ,  podría ser la de un entero); o la forma de la raíz cuadrada de un irracional que no sea a su vez raíz no cuadrada de otro número:  \( \sqrt{\sqrt{m\pm n\sqrt{s\pm t\sqrt{u\pm.\,.}}}} \) ;  (para  \( m,n,s,t,u \)  enteros o racionales -y-   \( x’ \)  un entero no cuadrado).


Tomemos como referencia:  \( \sqrt{z}=g^2+h^2 \)  ,  \( c=g^2-h^2 \)  \( \wedge \)  \( d=2gh \) .  Si construimos:  \( g=\sqrt{\sqrt{x’}+m} \)   \( \wedge \)   \( h=\sqrt{\sqrt{x’}-m} \) ; tendremos que:


1)  \( \pmb{c=g^2-h^2}\,=\,\sqrt{x’}+m-\sqrt{x’}+m\,=\,2m \)  (si suponemos que  “ \( 2m \) “  es un racional entero).

2)  \( \pmb{\sqrt{z}=g^2+h^2}\,=\,\sqrt{x’}+m+\sqrt{x’}-m\,=\,2\sqrt{x’} \)

3)  \( \pmb{d=2gh}\,=\,2\left( \sqrt{\sqrt{x’}+m}\right)\cdot\left( \sqrt{\sqrt{x’}-m}\right)\,=\,2\sqrt{x-m^2} \)  (que será entero siempre y cuando  “ \( x-m^2 \) “  sea un cuadrado entero).


Construyamos ahora:  \( g_1,g_2,h_1,h_2 \) .  Como los 4 son coprimos entre sí, no puedo representarlos como la raíz cuadrada de un entero no cuadrado  (\( \sqrt{x’} \)) -ni la raíz cuadrada de su raíz-;  pues ninguno de sus productos podrá dar lugar a un cuadrado. Luego sólo podrá ser una combinación lineal de las anteriores raíces y si acaso enteros; siendo esta combinación a su vez una raíz cuadrada (o cuarta..) o no. De esta manera, no pierdo generalidad si establezco lo siguiente:


    \( g_1=\sqrt{\sqrt{y’}+m} \)

    \( g_2=\sqrt{\sqrt{z’}-n} \)

    \( h_1=\sqrt{\sqrt{z’}+n} \)

    \( h_2=\sqrt{\sqrt{y’}-m} \)


Para  \( y’,z’ \)  enteros no cuadrados -y-  \( m,n \)  enteros.

Efectivamente:  \( g_1h_2=\sqrt{y’-m^2} \) .  Que será entero si  “ \( x’-m^2 \) “  es un cuadrado. Supongamos que sí. Y :  \( g_2h_1=\sqrt{z’-n^2} \) .  Que será entero si  “ \( y’-n^2 \) “  es un cuadrado; cosa que vamos a suponer. Luego sí cumplimos con estas condiciones que pusimos. Que harán que también:  \( \pmb{d=2gh} \)   sea entero.   

Ya sólo nos queda verificar que:  \( \pmb{c=g^2-h^2} \)    \( \wedge \)    \( \pmb{\sqrt{z}=g^2+h^2} \) .

Pues bien, esto no es posible. Veamos por qué:


1)  \( \boldsymbol{c=g^2-h^2}\,=\,\left( \sqrt{\sqrt{y’}+m}\right)^2\cdot\left( \sqrt{\sqrt{z’}-n}\right)^2-\left( \sqrt{\sqrt{z’}+n}\right)^2\cdot\left( \sqrt{\sqrt{y’}-m}\right)^2 \)

\( =\,\left(\sqrt{y’}+m\right)\left(\sqrt{z’}-n\right)-\left(\sqrt{z’}+n\right)\left(\sqrt{y’}-m\right) \)

\( =\,\sqrt{y’z’}-n\sqrt{y’}+m\sqrt{z’}-mn-\sqrt{z’y’}+m\sqrt{z’}-n\sqrt{y’}+mn \)

\( =\,2m\sqrt{z’}-2n\sqrt{y’} \) .

Ahora lo elevamos al cuadrado para saber si es racional ó no:

    \( 4m^2z’+4n^2y’-8mn\sqrt{y’z’} \) .

Y vemos que podrá ser entero sólo si  “ \( y’z’ \) “  es un cuadrado.


2)  \( \pmb{\sqrt{z}=g^2+h^2}\,=\,\left( \sqrt{\sqrt{y’}+m}\right)^2\cdot\left( \sqrt{\sqrt{z’}-n}\right)^2+\left( \sqrt{\sqrt{z’}+n}\right)^2\cdot\left( \sqrt{\sqrt{y’}-m}\right)^2 \)

\( =\,\left(\sqrt{y’}+m\right)\left(\sqrt{z’}-n\right)+\left(\sqrt{z’}+n\right)\left(\sqrt{y’}-m\right) \)

\( =\,\sqrt{y’z’}-n\sqrt{y’}+m\sqrt{z’}-mn+\sqrt{z’y’}-m\sqrt{z’}+n\sqrt{y’}-mn \)

\( =\,2\sqrt{y’z’}-2mn \) . 


Y vemos que sólo será irracional si  “ \( y’z’ \) “  no es un cuadrado; pero que si no lo es, entonces hará irracional á  “ c “ .


La conclusión es que si:  \( g_1h_2=e \)   \( \wedge \)   \( g_2h_1=f \) , para  \( e,f \)  enteros y  \( g_1,g_2,h_1,h_2 \)  irracionales cuadráticos; no es posible ” construir algebraicamente” (*) :  \( \pmb{z=c^2+d^2} \) . Lo que es una contradicción si:  <<  \( \pmb{z^4=x^4+y^4} \)  >> .

Aparentemente sólo estás utilizando esto:

\( \pmb{z= c^2+d^2} \)  :  \( \sqrt{z}=g^2+h^2 \)  ,  \( c=g^2-h^2 \)  ,  \( d=2gh \) ;  para:  \( g,h \)  no enteros ni racionales y coprimos.


Por lo que:  \( d=2ef\,=\,2gh \)   \( \wedge \)   \( ef=gh \) .  De donde podemos deducir, sin pérdida de generalidad, que:  \( g=g_1g_2 \) ,  para  \( g_1 \) \( \wedge \) \( g_2 \)  no racionales y coprimos y:  \( h=h_1h_2 \) ,  para  \( h_1 \) \( \wedge \) \( h_2 \)  no racionales y coprimos; tales que:  " \( g_1h_2=\pmb{e} \) "   \( \wedge \)   " \( g_2h_1=\pmb{f} \) " .

Y no se puede pretender obtener nada contradictorio ahí, porque dados \( c,d \) cualesquiera siempre se tendrá que para \( z \) entero \( z=c^2+d^2 \) y si \( d \) es par siempre se podrá escribir como \( d=2ef \), con \( e,f \) coprimos.

Saludos.

28 Octubre, 2019, 12:49 pm
Respuesta #4

Fernando Moreno

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Hola,

De tus 2 objeciones, la primera no acabo de verla y la segunda es cierto que me ha dado que pensar.

Sobre la coprimalidad de  \( g\wedge h \) ,  lo siguiente:

Supongamos que:  \( (m,y')=1 \)  \( \wedge \)  \( (n,z')=1 \)

\( g=g_1g_2=\sqrt{(\sqrt{y'}+m)(\sqrt{z'}-n)} \)

\( g^2=(\sqrt{y'}+m)(\sqrt{z'}-n) \)

\( h=h_1h_2=\sqrt{(\sqrt{z'}+n)(\sqrt{y'}-m)} \)

\( h^2=(\sqrt{z'}+n)(\sqrt{y'}-m) \)

Puedo comparar la suma y la diferencia de  \( \sqrt{y'}+m \)  y de  \( \sqrt{y'}-m \) .  Que será, respectivamente: \( 2\sqrt{y'} \)  \( \wedge \)  \( 2m \) .  Cuyo cuadrado de ambas expresiones son enteros. El único factor común será 4, pero cómo sólo una de estas expresiones puede ser par, serán coprimos. Pasa entonces que entre los factores  \( \sqrt{y'}+m \)  \( \wedge \)  \( \sqrt{z'}+n \)  no puedo saber si son coprimos o no. Pero a lo que vamos es que la coprimalidad no está afectada por la irracionalidad de los primeros factores y es "comparable". Otra cosa es que se pueda o no determinar. Tendría que estudiar como afectaría esto a la demostración.

De tu 2da objeción es cierto que en sí mismo de:  " \( z=c^2+d^2 \) "  no hay contradicción alguna. Pero es que existe en este caso "una condición" que hace esa ecuación "particular" y es que:  \( g_1,g_2,h_1,h_2 \)  son irracionales cuadráticos y que:  \( e=g_1h_2 \)  \( \wedge \)  \( f=g_2h_1 \) . Admito que si  \( d^2 \)  es par, siempre existirá que:  \( d=2ef \) .  Pero no que:  \( e=g_1h_2 \)  \( \wedge \)  \( f=g_2h_1 \) .  Yo al menos no sé cómo construir algebraicamente eso. En cambio en el caso del UTF2 sí que puedo hacerlo. Vamos al fango  ;)  de los números:

\( 221=10^2+11^2 \)   \( \Rightarrow{} \)   \( a'=\sqrt{\dfrac{\sqrt{221}+11}{2}} \)  \( \wedge \)   \( b'=\sqrt{\dfrac{\sqrt{221}-11}{2}} \)

Y :

\( 21=11^2-10^2 \)   \( \Rightarrow{} \)   \( c'=\sqrt{\dfrac{11+\sqrt{21}}{2}} \)  \( \wedge \)   \( d'=\sqrt{\dfrac{11-\sqrt{21}}{2}} \)

Pero claro: Ni  " \( a'\cdot d' \) "  Ni  " \( a'\cdot c' \) "  etc  me va a dar nunca por ejemplo: " 10 " .  Porque esa condición no se les exige. Sí se les exigiera existiría una contradicción. Ése es el sentido del Post primero. Naturalmente:  \( \color{red}10=2a'b'=2c'd' \) .  No sé si el ejemplo es el más adecuado. Me refiero a productos entre un grupo y otro
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28 Octubre, 2019, 06:10 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

De tus 2 objeciones, la primera no acabo de verla y la segunda es cierto que me ha dado que pensar.

Sobre la coprimalidad de  \( g\wedge h \) ,  lo siguiente:

Antes de ir a lo que has escrito, no se si has entendido bien el problema de fondo que apunto. Hay un concepto de coprimalidad en los enteros; hay un concepto de coprimalidad más general en un anillo, por ejemplo, de tipo \( \Bbb Z[\sqrt{d}] \). Pero cuanto tu hablas de que \( g \) y \( h \) con coprimos si trato de aplicar el concepto usual de coprimalidad no se en que anillo se supone que estás trabajando. Dependiendo del anillo puede ser que unos mismos números sean o no coprimos.

En otras palabras te pregunto a que te refieres con que sean coprimos, porque si no especificas el anillo no hay ningún concepto de coprimalidad conocido que pueda aplicar.

Citar
Supongamos que:  \( (m,y')=1 \)  \( \wedge \)  \( (n,z')=1 \)

\( g=g_1g_2=\sqrt{(\sqrt{y'}+m)(\sqrt{z'}-n)} \)

\( g^2=(\sqrt{y'}+m)(\sqrt{z'}-n) \)

\( h=h_1h_2=\sqrt{(\sqrt{z'}+n)(\sqrt{y'}-m)} \)

\( h^2=(\sqrt{z'}+n)(\sqrt{y'}-m) \)

Puedo comparar la suma y la diferencia de  \( \sqrt{y'}+m \)  y de  \( \sqrt{y'}-m \) .  Que será, respectivamente: \( 2\sqrt{y'} \)  \( \wedge \)  \( 2m \) .  Cuyo cuadrado de ambas expresiones son enteros. El único factor común será 4, pero cómo sólo una de estas expresiones puede ser par, serán coprimos. Pasa entonces que entre los factores  \( \sqrt{y'}+m \)  \( \wedge \)  \( \sqrt{z'}+n \)  no puedo saber si son coprimos o no. Pero a lo que vamos es que la coprimalidad no está afectada por la irracionalidad de los primeros factores y es "comparable". Otra cosa es que se pueda o no determinar. Tendría que estudiar como afectaría esto a la demostración.

Me pierdo. La pregunta es sencilla y muy concreta; debería de tener una respuesta concreta. ¿Qué quieres decir en general con que dos números no enteros sean coprimos?.

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De tu 2da objeción es cierto que en sí mismo de:  " \( z=c^2+d^2 \) "  no hay contradicción alguna. Pero es que existe en este caso "una condición" que hace esa ecuación "particular" y es que:  \( g_1,g_2,h_1,h_2 \)  son irracionales cuadráticos y que:  \( e=g_1h_2 \)  \( \wedge \)  \( f=g_2h_1 \)
.

Es que tampoco sé de donde te sacas esos \( g_1,g_2,h_1,h_2 \). Tu dices:

\( \pmb{z= c^2+d^2} \)  :  \( \sqrt{z}=g^2+h^2 \)  ,  \( c=g^2-h^2 \)  ,  \( d=2gh \) ;  para:  \( g,h \)  no enteros ni racionales y coprimos.


Por lo que:  \( d=2ef\,=\,2gh \)   \( \wedge \)   \( ef=gh \) .  De donde podemos deducir, sin pérdida de generalidad, que:  \( g=g_1g_2 \) ,  para  \( g_1 \) \( \wedge \) \( g_2 \)  no racionales y coprimos y:  \( h=h_1h_2 \) ,  para  \( h_1 \) \( \wedge \) \( h_2 \)  no racionales y coprimos; tales que:  " \( g_1h_2=\pmb{e} \) "   \( \wedge \)   " \( g_2h_1=\pmb{f} \) " .

Aparentemente lo que he marcado en rojo lo deduces de que \( ef=gh \). ¿Por qué?.

Jugando con tus propios ejemplos:

\( z=221,\qquad d=10,\quad c=11 \) de manera que \( z=c^2+d^2 \)

Tomamos:

\( g^2=\dfrac{\sqrt{z}+c}{2}=\dfrac{\sqrt{221}+11}{2},\qquad h^2=\dfrac{\sqrt{z}-c}{2}=\dfrac{\sqrt{221}-11}{2} \)

de manera que:

\( \sqrt{z}=g^2+h^2,\qquad c=g^2-h^2,\qquad d=2gh \)

Por otra parte \( d=2\cdot 5\cdot 1 \) de manera que \( e=5 \) y \( f=1 \).

¿Dónde está la contradicción? ¿Quienes son y de dónde salen esos \( g_1,g_2,h_1,h_2 \)?.

Saludos.




28 Octubre, 2019, 06:31 pm
Respuesta #6

Fernando Moreno

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Hola,

El sentido de la coprimalidad que he entendido es el siguiente:

Parto de  \( z=c^2+d^2 \) ,  para  \( d \)  por ejemplo par. Luego existirá un  \( d_1=\dfrac{d}{2} \)  -y- un  \( x'=\dfrac{\sqrt{z}+c}{2} \)  -y- un  \( y'=\dfrac{\sqrt{z}-c}{2} \) .  Luego:  \( d_1^2=\dfrac{d^2}{4}\,=\,x'y' \)

De la suma:  \( \dfrac{\sqrt{z}}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{\sqrt{z}}{2}-\dfrac{c}{2}\,=\,\sqrt{z} \)

De la diferencia:  \( \dfrac{\sqrt{z}}{2}+\dfrac{c}{2}-\dfrac{\sqrt{z}}{2}+\dfrac{c}{2}\,=\,c \)

\( \pmb{c\,\wedge\,\sqrt{z}} \)  son coprimos porque lo son:  \( \pmb{c^2\,\wedge\,z} \)

Luego:  \( d_1^2=x'y'\,\Rightarrow\,x'=p'^2\,\wedge\,y'=q'^2 \)  Y etc, etc

Respecto de la coprimalidad, para ir al grano. Yo me he basado en lo que está en negrita. Si tu me razonas que eso está mal, que no es así. Pues todo está mal. Ése fue mi punto de partida al hacer este intento de demostración. La idea es, que como si:  \( c \)  y  \( d \)  son coprimos. Lo son:  \( c^2 \)  y  \( d^2 \) .  ¿Por qué no:  \( \sqrt{c} \)  y  \( \sqrt{d} \) ? Ahí tienes el balón centrado

AÑADO algunos ejemplos:  \( 5 \)  y  \( 7 \)  son coprimos. Luego su producto no puede ser un cuadrado. El producto de  \( \sqrt{5} \)  y  \( \sqrt{7} \)  tampoco.  \( 30 \)  y  \( 3 \)  no son coprimos y tienen a " 3 " como factor común. Luego:  \( \sqrt{30} \)  x  \( \sqrt{3} \)  =  \( 3\sqrt{10} \) .  No sé, a lo mejor todo esto es una barbaridad, pero me veo constantemente empujado a la frontera de las cosas para intentar resolver este problema tan difícil. 

AÑADO más. Le doy vueltas a lo de la "respuesta concreta". Podría decir que 2 irracionales cuadráticos (OJO: No: "no enteros" -eso es muy general-) son coprimos si sus cuadrados lo son. Entiendo que es una respuesta ad hoc, pero válida quizás para el conjunto de los "números construibles". Ejemplos numéricos se han puesto

Otro tema: Si  \( ef=gh \)  -y-  " ef "  son enteros. De alguna manera existirán unos factores en " gh " , que son irracionales, que multiplicados entre sí den lugar a enteros. Por ejemplo un factor " \( g_1 \) "  x  un factor  " \( h_2 \) " .  No veo donde pierdo la generalidad.

Un saludo,
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

29 Octubre, 2019, 07:54 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Respecto de la coprimalidad, para ir al grano. Yo me he basado en lo que está en negrita. Si tu me razonas que eso está mal, que no es así. Pues todo está mal.

No se si logro explicarme. No es que esté bien ni mal. No puedo decirte si está bien decir que son coprimos, porque no se que concepto de coprimalidad estás usando. Y si lo que haces es simplemente dar una definición nueva de coprimalidad... pues vale. Pero ojo porque a lo mejor no cumple las propiedades de la coprimalidad usual; en todo caso no podría darse por hecho.

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Ése fue mi punto de partida al hacer este intento de demostración. La idea es, que como si:  \( c \)  y  \( d \)  son coprimos. Lo son:  \( c^2 \)  y  \( d^2 \) .  ¿Por qué no:  \( \sqrt{c} \)  y  \( \sqrt{d} \) ? Ahí tienes el balón centrado

AÑADO algunos ejemplos:  \( 5 \)  y  \( 7 \)  son coprimos. Luego su producto no puede ser un cuadrado. El producto de  \( \sqrt{5} \)  y  \( \sqrt{7} \)  tampoco.  \( 30 \)  y  \( 3 \)  no son coprimos y tienen a " 3 " como factor común. Luego:  \( \sqrt{30} \)  x  \( \sqrt{3} \)  =  \( 3\sqrt{10} \) .  No sé, a lo mejor todo esto es una barbaridad, pero me veo constantemente empujado a la frontera de las cosas para intentar resolver este problema tan difícil. 

AÑADO más. Le doy vueltas a lo de la "respuesta concreta".
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Podría decir que 2 irracionales cuadráticos (OJO: No: "no enteros" -eso es muy general-) son coprimos si sus cuadrados lo son.
Entiendo que es una respuesta ad hoc, pero válida quizás para el conjunto de los "números construibles". Ejemplos numéricos se han puesto

Pero insisto en un primer problema de esa definición. Hablas de que \( g \) y \( h \) sean coprimos. Pero \( g^2 \) y \( h^2 \) no son enteros. Entonces no me soluciona nada tomar sus cuadrados.

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Otro tema: Si  \( ef=gh \)  -y-  " ef "  son enteros. De alguna manera existirán unos factores en " gh " , que son irracionales, que multiplicados entre sí den lugar a enteros. Por ejemplo un factor " \( g_1 \) "  x  un factor  " \( h_2 \) " .  No veo donde pierdo la generalidad.

No digo que pierdas generalidad, sino que no se de manera precisa que exigencias pones a esos factores y si con tales exigencias existen. Además...¡te acabo de poner un ejemplo!:

\( g=\sqrt{\dfrac{\sqrt{221}+11}{2}},\qquad h=\sqrt{\dfrac{\sqrt{221}-11}{2}} \)

\( g\cdot h=5\cdot 1 \)

¿Dónde están esos factores?¿Quienes son tus \( g_1,g_2,h_1,h_2 \)?.

Y lo que es más importante...¡el ejemplo muestra que esas igualdades que se supone que llevan a contradicción son posibles!. Prueba inequívoca de que está mal lo que haces. Diría que eso es la crítica más obvia.

Saludos.

29 Octubre, 2019, 05:24 pm
Respuesta #8

Fernando Moreno

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Hola,

Hola

Respecto de la coprimalidad, para ir al grano. Yo me he basado en lo que está en negrita. Si tu me razonas que eso está mal, que no es así. Pues todo está mal.

No se si logro explicarme. No es que esté bien ni mal. No puedo decirte si está bien decir que son coprimos, porque no se que concepto de coprimalidad estás usando. Y si lo que haces es simplemente dar una definición nueva de coprimalidad... pues vale. Pero ojo porque a lo mejor no cumple las propiedades de la coprimalidad usual; en todo caso no podría darse por hecho.

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Ése fue mi punto de partida al hacer este intento de demostración. La idea es, que como si:  \( c \)  y  \( d \)  son coprimos. Lo son:  \( c^2 \)  y  \( d^2 \) .  ¿Por qué no:  \( \sqrt{c} \)  y  \( \sqrt{d} \) ? Ahí tienes el balón centrado

AÑADO algunos ejemplos:  \( 5 \)  y  \( 7 \)  son coprimos. Luego su producto no puede ser un cuadrado. El producto de  \( \sqrt{5} \)  y  \( \sqrt{7} \)  tampoco.  \( 30 \)  y  \( 3 \)  no son coprimos y tienen a " 3 " como factor común. Luego:  \( \sqrt{30} \)  x  \( \sqrt{3} \)  =  \( 3\sqrt{10} \) .  No sé, a lo mejor todo esto es una barbaridad, pero me veo constantemente empujado a la frontera de las cosas para intentar resolver este problema tan difícil. 

AÑADO más. Le doy vueltas a lo de la "respuesta concreta".
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Podría decir que 2 irracionales cuadráticos (OJO: No: "no enteros" -eso es muy general-) son coprimos si sus cuadrados lo son.
Entiendo que es una respuesta ad hoc, pero válida quizás para el conjunto de los "números construibles". Ejemplos numéricos se han puesto

Pero insisto en un primer problema de esa definición. Hablas de que \( g \) y \( h \) sean coprimos. Pero \( g^2 \) y \( h^2 \) no son enteros. Entonces no me soluciona nada tomar sus cuadrados.

Ok

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Otro tema: Si  \( ef=gh \)  -y-  " ef "  son enteros. De alguna manera existirán unos factores en " gh " , que son irracionales, que multiplicados entre sí den lugar a enteros. Por ejemplo un factor " \( g_1 \) "  x  un factor  " \( h_2 \) " .  No veo donde pierdo la generalidad.

No digo que pierdas generalidad, sino que no se de manera precisa que exigencias pones a esos factores y si con tales exigencias existen. Además...¡te acabo de poner un ejemplo!:

\( g=\sqrt{\dfrac{\sqrt{221}+11}{2}},\qquad h=\sqrt{\dfrac{\sqrt{221}-11}{2}} \)

\( g\cdot h=5\cdot 1 \)

¿Dónde están esos factores?¿Quienes son tus \( g_1,g_2,h_1,h_2 \)?.

Y lo que es más importante...¡el ejemplo muestra que esas igualdades que se supone que llevan a contradicción son posibles!. Prueba inequívoca de que está mal lo que haces. Diría que eso es la crítica más obvia.

Saludos.


Sí, ahora lo pillo. Me ha costado verlo. Gracias
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