Autor Tema: Estudiar la convergencia uniforme de sucesiones de funciones

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27 Octubre, 2019, 10:54 am
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OriolRama

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Hola!
Me podrias ayudar a estudiar la convergencia puntual y uniforme de la siguiente sucesión de funciones?
\( f_n(x)= n  \)  si \( |x|\leq{1/n}  \)
\( f_n(x)=0  \) si \( |x|>1/n  \)
\( \forall{x}\in{\mathbb{R}} \)
Estudiando la convergencia puntual, fixando x en R, y haciendo limite de n tendiendo a infinito, me sale que si x és cero la función puntual vale infinito, y si x no es cero la función puntual és constantemente cero.
Entonces no existe convergencia uniforme porque la función puntual no és continua verdad?
Pero si existe convergencia uniforme en un intervalo \( (0, \infty) \)?

Muchas gracias

27 Octubre, 2019, 03:17 pm
Respuesta #1

Masacroso

  • Moderador Global
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Hola!
Me podrias ayudar a estudiar la convergencia puntual y uniforme de la siguiente sucesión de funciones?
\( f_n(x)= n  \)  si \( |x|\leq{1/n}  \)
\( f_n(x)=0  \) si \( |x|>1/n  \)
\( \forall{x}\in{\mathbb{R}} \)
Estudiando la convergencia puntual, fixando x en R, y haciendo limite de n tendiendo a infinito, me sale que si x és cero la función puntual vale infinito, y si x no es cero la función puntual és constantemente cero.
Entonces no existe convergencia uniforme porque la función puntual no és continua verdad?
Pero si existe convergencia uniforme en un intervalo \( (0, \infty) \)?

Muchas gracias

Es que las funciones originales tampoco son continuas así que no es raro que la función puntual a la que tiende no lo sea tampoco.

En principio observa que la función puntual a la que tiende no existe en el espacio de funciones con valores reales ya que a \( f(0) \) no se le puede asignar ningún valor real, como bien has visto, por tanto no converge a ninguna función puntualmente en tal espacio.

¿Puede una sucesión de funciones que no converge puntualmente, en un determinado espacio, converger uniformemente en ese espacio?

Si consideramos el espacio de funciones con valores en la recta real extendida entonces la sucesión \( (f_n) \) sí que converge puntualmente, pero no creo que te hayan enseñado ese espacio o alguna norma en él para ver si converge uniformemente allí.