Autor Tema: Símbolos de Christoffel

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21 Octubre, 2019, 07:34 am
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GMat

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Saludos. Quería solicitar su ayuda con lo siguiente: Leyendo el libro de Mandredo de geometría riemanniana llegue a la parte donde define los símbolos de Christoffel y llega a la expresión:

\( \sum_l\Gamma^l_{ij}g_{lk}=\frac{1}{2}\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}g_{jk}+\frac{\partial}{\partial x_j}g_{ki}-\frac{\partial}{\partial x_k}g_{ij}\right\} \).

Esa parte la comprendo pero luego dice: "Dado que la matriz \( (g_{km}) \) es admite una inversa \( (g^{km}) \), obtenemos

\( \Gamma^l_{ij}=\frac{1}{2}\sum_k\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}g_{jk}+\frac{\partial}{\partial x_j}g_{ki}-\frac{\partial}{\partial x_k}g_{ij}\right\}g^{km} \).

Pero no lo pille bien. ¿Podrían explicarme con mas detalle lo que ocurrió allí? Supongo que debió ser una multiplicación por la inversa pero no lo comprendí bien.

21 Octubre, 2019, 11:44 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Saludos. Quería solicitar su ayuda con lo siguiente: Leyendo el libro de Mandredo de geometría riemanniana llegue a la parte donde define los símbolos de Christoffel y llega a la expresión:

\( \sum_l\Gamma^l_{ij}g_{lk}=\frac{1}{2}\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}g_{jk}+\frac{\partial}{\partial x_j}g_{ki}-\frac{\partial}{\partial x_k}g_{ij}\right\} \).

Esa parte la comprendo pero luego dice: "Dado que la matriz \( (g_{km}) \) es admite una inversa \( (g^{km}) \), obtenemos

\( \Gamma^l_{ij}=\frac{1}{2}\sum_k\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}g_{jk}+\frac{\partial}{\partial x_j}g_{ki}-\frac{\partial}{\partial x_k}g_{ij}\right\}g^{km} \).

Pero no lo pille bien. ¿Podrían explicarme con mas detalle lo que ocurrió allí? Supongo que debió ser una multiplicación por la inversa pero no lo comprendí bien.

Fíjate que en general si tenemos dos matrices \( A,B \) y consideramos su producto \( C=AB \) se tiene que:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{}a_{ik}b_{kj}=c_{ij} \)

En particular si \( B=A^{-1} \) entonces \( C=Id \), y \( c_{ij}=\delta_{ij} \) (la delta de Kronecker).

Entonces en tu caso:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{}g_{lk}g^{km}=\delta_{l}^m \)

Entonces multiplicando por \( g^{km} \) ysumando en \( k \) aquí:

\( \displaystyle\sum_l\Gamma^l_{ij}g_{lk}=\frac{1}{2}\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}g_{jk}+\frac{\partial}{\partial x_j}g_{ki}-\frac{\partial}{\partial x_k}g_{ij}\right\} \)

queda:

\( \displaystyle\sum_l\displaystyle\sum_k\Gamma^l_{ij}g_{lk}g^{km}=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_k\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}g_{jk}+\frac{\partial}{\partial x_j}g_{ki}-\frac{\partial}{\partial x_k}g_{ij}\right\}g^{km} \)

\( \displaystyle\sum_l\Gamma^l_{ij}\delta_{l}^m=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_k\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}g_{jk}+\frac{\partial}{\partial x_j}g_{ki}-\frac{\partial}{\partial x_k}g_{ij}\right\}g^{km} \)

\( \Gamma^m_{ij}=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_k\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}g_{jk}+\frac{\partial}{\partial x_j}g_{ki}-\frac{\partial}{\partial x_k}g_{ij}\right\}g^{km} \)

(nota que tenías una errata en la segunda expresión y donde pones \( l \) debiera de ser \( m \)).

Saludos.

22 Octubre, 2019, 06:03 pm
Respuesta #2

GMat

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Comprendido. Muchas gracias.

¡Saludos!