Autor Tema: Equivalencia proyectiva. (I)

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18 Octubre, 2019, 09:34 pm
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latex

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Hola buenas noches, tengo la siguiente duda:

Si \( p,p' \in \mathbb{K}(x,y) \) son tales que \( C_p \), y \( C_p' \) las cónicas asociadas son equivalentes afínmente, es decir se tiene una aplicación afín f, tal que \( p(x,y) = \lambda p'(f(x,y)) \) para algún \( \lambda \in \mathbb{K} \), entonces si tomamos las ampliaciones proyectivas de \( p \),\( p' \) respectivamente como \( p^*(x,y,z)=z^2p(\displaystyle\frac{x}{z},\displaystyle\frac{x}{z}) \), se debe verificar que \( p^* \) y \( p'^* \) son proyectivamente equivalentes,
esto es que para algún otro \( \lambda \in \mathbb{K} \) \( p^*(x,y,z)=z^2\lambda p(\displaystyle\frac{x}{z},\displaystyle\frac{y}{z}) = z^2 \lambda p'(f(\displaystyle\frac{x}{z},\displaystyle\frac{y}{z})) \underbrace{=}_{?} \lambda p'^*(\widetilde{f}(x,y,z)) \), mi pregunta es en este caso como se define \( \widetilde{f} \).

Saludos :)

19 Octubre, 2019, 10:09 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola buenas noches, tengo la siguiente duda:

Si \( p,p' \in \mathbb{K}(x,y) \) son tales que \( C_p \), y \( C_p' \) las cónicas asociadas son equivalentes afínmente, es decir se tiene una aplicación afín f, tal que \( p(x,y) = \lambda p'(f(x,y)) \) para algún \( \lambda \in \mathbb{K} \), entonces si tomamos las ampliaciones proyectivas de \( p \),\( p' \) respectivamente como \( p^*(x,y,z)=z^2p(\displaystyle\frac{x}{z},\displaystyle\frac{x}{z}) \), se debe verificar que \( p^* \) y \( p'^* \) son proyectivamente equivalentes,
esto es que para algún otro \( \lambda \in \mathbb{K} \) \( p^*(x,y,z)=z^2\lambda p(\displaystyle\frac{x}{z},\displaystyle\frac{y}{z}) = z^2 \lambda p'(f(\displaystyle\frac{x}{z},\displaystyle\frac{y}{z})) \underbrace{=}_{?} \lambda p'^*(\widetilde{f}(x,y,z)) \), mi pregunta es en este caso como se define \( \widetilde{f} \).

Saludos :)

Si tienes una aplicación afín en \( \Bbb R^2 \) se escribe matricialmente como:

\( f\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c&d\\p&q\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix} \)

Equivalentemente:

\( f\begin{pmatrix}x\\y\\1\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c&d&a\\p&q&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\\\end{pmatrix} \)

Entonces su extensión al plano proyectivo es:

\( \bar f\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c&d&a\\p&q&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix} \)

Saludos.

19 Octubre, 2019, 11:09 am
Respuesta #2

latex

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Duda resuelta, muchas gracias :)

Saludos.