Autor Tema: No convergencia de una sucesión de funciones

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17 Octubre, 2019, 06:27 pm
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dransi

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Estoy teniendo dificultades para resolver este ejercicio que he encontrado en mi libro de Análisis Funcional, agradecería si alguien pudiera ayudarme.

Consideremos en \( \mathbb{R}^d \) la sucesión sucesión de funciones \( \{f_\mu\}=\begin{cases} \frac{K}{\mu^d}exp\left(\frac{1}{|x/\mu|^2-1}\right) & \text{si}|x|<\mu \\0 & \text{en otro caso}\end{cases} \) con \( K=\displaystyle\int_{|x|<1}exp\left(\frac{1}{|x|^2-1}\right) \). Pruébese que no existe el límite en \( L_p(\mathbb{R}^d) \) de la sucesión cuando \( \mu  \) tiende a cero.

Lo que he intentado es probarlo por reducción al absurdo. He inentado llegar a contradicción suponiendo que la sucesión es de Cauchy, pero no consigo nada.

Gracias.





18 Octubre, 2019, 10:49 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Calcula la integral de todas esas funciones: verás que es contante no nula.

 Por otro lado ten en cuenta que el soporte de esas funciones es la bola de centro origen y radio \( \mu \). Por tanto el candidato a límite es la función nula.

 Concluye...

Saludos.

18 Octubre, 2019, 11:01 am
Respuesta #2

dransi

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Hola

 Calcula la integral de todas esas funciones: verás que es contante no nula.

 Por otro lado ten en cuenta que el soporte de esas funciones es la bola de centro origen y radio \( \mu \). Por tanto el candidato a límite es la función nula.

 Concluye...

Saludos.

Hola, gracias por responder. Sí, ya vi que el valor de las integrales es 1. Lo que no sé es como demostrar que la función nula es el unció candidato a límite.

18 Octubre, 2019, 11:35 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 En general toda sucesión de funciones convergente en \( L^p \) tiene una subsucesión que converge puntualmente en casi todo punto a la sucesión límite.

Saludos.