Autor Tema: Cálculo de variaciones posibles en una combinación de datos

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17 Octubre, 2019, 02:36 pm
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Kossatx

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Hola, antes de nada quiero decir que no tengo formación matemática específica y por eso he recalado en este foro, para intentar conseguir ayuda en un cálculo que quiero hacer. Las condiciones del problema que tengo entre manos es el siguiente:

- Existen 6 categorías.
- A cada categoría se le debe asignar uno de los siguientes valores: 0, 1, 2, 3 y 4.
- Varias categorías pueden tener asignado el mismo valor.
- La suma de los valores de las 6 categorías nunca puede ser menor a 1 ni superior a 6. "000001" sí vale, "111112" no vale.
- Los valores (0, 1, 2, 3, ó 4) de las categorías 3 y 4 no pueden ser superiores al menor que se haya asignado a las categorías 1 y 2. Además, los valores de las categorías 5 y 6 no pueden ser superiores al menor que se haya asignado a las categorías 3 y 4. Por ejemplo, "221100" y "211110" sí valen, "001122" y "212010" no valen.
- ¿Cuántas combinaciones son posibles?



Agradecería mucho vuestra ayuda, ya que mis conocimientos de combinatoria son limitados. Gracias de antemano!

17 Octubre, 2019, 05:05 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Bienvenido al foro.

 Tengo algo de prisa ahora, pero te doy un esbozo del asunto.

 Si llamas \( x_i \) al valor que asignas a la categoría \( i \)-ésima se tiene que cumplir:

1) \( 1\leq x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6\leq 6 \)
2) \( 0\leq x_i\leq 4 \)

3) \( x_1\geq x_3,\,x_1\geq x_4,\,x_2\geq x_3,\,x_2\geq x_4 \)
4) \( x_3\geq x_5,\,x_3\geq x_6,\,x_4\geq x_5,\,x_4\geq x_6 \)

La condición (1) es muy fácil de resolver con combinaciones con repetición. Son:

\( CR_{7,6}-1=\displaystyle\binom{12}{6}-1 \)

La condición (2) obliga a quitar algunos casos (donde aparecen cincos y seises). Pero sigue siendo fácil:

\( CR_{7,6}-1-2\cdot 6-6\cdot 5=\displaystyle\binom{12}{6}-1 \)

Las condiciones (3) y (4) son un poco más farragosas de gestionar. Tengo que mirarlo con más calma.

Saludos.

17 Octubre, 2019, 07:34 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Después de pensar un poco para gestionar las últimas condiciones se me ocurre razonar de manera un tanto más artesanal.

 CASO 1) Notamos que si \( max(x_5,x_6)\geq 1 \) entonces necesariamente \( x_4,x_3,x_2,x_1\geq 1 \). En ese caso las únicas posibilidades son:

 - Para \( (x_5,x_6)=(1,1) \), \( (1,1,1,1,1,1) \).
 - Para \( (x_5,x_6)=(1,0) \), \( x_1=x_2=x_3=x_4=1 \) o bien \( x_1 \) ó \( x_2=2 \). Son tres opciones.
 - Para \( (x_5,x_6)=(0,1) \), ídem.

 Tenemos en el caso 1: \( 1+3+3=7 \) opciones.

 En lo que sigue necesariamente \( x_5=x_6=0 \).

 CASO 2) Si \( max(x_3,x_4)\geq 2 \) entonces \( x_2,x_1\geq 2 \) y las únicas posiblidades son \( (2,2,2,0,0,0) \) ó \( (2,2,0,2,0,0) \).

 Tenemos en el caso 2. \( 2 \) opciones.

 CASO 3) Si \( max(x_3,x_4)\geq 1 \) entonces \( x_2,x_1\geq 1 \):

- Si \( (x_3,x_4)=(1,1) \) entonces las posiblidades para \( x_2,x_1 \) son el número de soluciones de:

\(  2\leq x_2+x_1\leq 4 \) con \( 1\leq x_1,x_2 \)

Equivalentemente el número de soluciones de:

\(  0\leq x_2'+x_1'\leq 2 \) con \( 0\leq x_1',x_2' \)

Esto son \( CR_{3,2}=\displaystyle\binom{4}{2}=6 \)

- Si \( (x_3,x_4)=(1,0) \) entonces las posiblidades para \( x_2,x_1 \) son el número de soluciones de:

\(  2\leq x_2+x_1\leq 5 \) con \( 1\leq x_1,x_2\leq 4 \)

Equivalentemente el número de soluciones de:

\(  0\leq x_2'+x_1'\leq 3 \) con \( 0\leq x_1',x_2'\leq 3 \)

Esto son \( CR_{3,3}=\displaystyle\binom{5}{3}=10 \)

- Si \( (x_3,x_4)=(0,1) \) idem.

 Tenemos en el caso 3. \( 6+10+10=26 \) opciones.

CASO 4. Finalmente \( x_5=x_4=x_3=x_2=0 \) y hay que contar las soluciones de:

\( 1\leq x_1+x_2\leq 6 \) con \( 0\leq x_1,x_2\leq 4 \)

que son \( CR_{3,6}-1-6=\displaystyle\binom{8}{6}-7=21 \).

En total y si no me equivoqué:

\( 7+2+26+21=56 \) opciones

Saludos.

18 Octubre, 2019, 12:24 am
Respuesta #3

Kossatx

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Muchísimas gracias Luis, además de resolver el problema que he planteado lo has explicado de una forma muy clara. Ha sido una suerte encontrarte por aquí  :aplauso: :aplauso: :aplauso: