Autor Tema: Ecuacion diofantica lineal

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17 Octubre, 2019, 05:36 am
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Julio_fmat

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Sean \( a,b,n\in \mathbb{Z} \) con \( (a,b)\ne (0,0). \) Demostrar la siguiente afirmacion: la ecuacion \( ax+by=n \) tiene soluciones enteras \( x,y\in \mathbb{Z} \) si y solo si \( \text{mcd}(a,b) \) divide a \( n. \)
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

17 Octubre, 2019, 10:10 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sean \( a,b,n\in \mathbb{Z} \) con \( (a,b)\ne (0,0). \) Demostrar la siguiente afirmacion: la ecuacion \( ax+by=n \) tiene soluciones enteras \( x,y\in \mathbb{Z} \) si y solo si \( \text{mcd}(a,b) \) divide a \( n. \)

- Si tiene solución es inmediato que \( mcd(a,b) \) divide a \( n. \)
- Recíprocamente si \( mcd(a,b) \) divide a \( n \), la ecuación equivale a:

\( a'x+b'y=n' \) con \( a'=\dfrac{a}{mcd(a,b)},\quad b'=\dfrac{b}{mcd(a,b)},\quad n'=\dfrac{n}{mcd(a,b)} \)

Como \( mcd(a',b')=1 \) existen \( p,q \) tales que:

\( a'p+b'q=1 \)

y multiplicando por \( n' \):

\( a'(pn')+b'(qn')=n' \)

Por tanto la ecuación inicial tiene solución.

Saludos.