Autor Tema: funciones semicontinuas

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16 Octubre, 2019, 06:19 pm
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jpsilva

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Buenas
Tengo este ejercicio, queria saber si alguien me puede ayudar con la demostración.
Una función f que es semicontinua superior en un espacio métrico compacto está limitada desde arriba y tiene un máximo.
Saludos

17 Octubre, 2019, 11:28 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buenas
Tengo este ejercicio, queria saber si alguien me puede ayudar con la demostración.
Una función f que es semicontinua superior en un espacio métrico compacto está limitada desde arriba y tiene un máximo.
Saludos

1) Primero veamos que es acotada superiormente. En caso contrario para cada \( n\in \mathbb{N} \) existe \( x_n\in X \) tal que \( f(x_n)>n \).

Por ser \( X \) compacto la sucesión \( \{x_n\} \) tiene una subsucesión convergente \( \{x_{n_k}\}\to x \).

Por ser semicontinua superior existe \( \delta>0 \) tal que si \( 0<|y-x|<\delta \) entonces \( f(y)\leq f(x)+1 \).

Pero tomando \( n_k \) tal que \( |x_{n_k}-x|<\delta \) y \( n_k>f(x)+1 \) se tiene que:

\( n_k<f(x_{n_k})\leq f(x)+1<n_k \)  ¡Contradicción!.

2) Veamos ahora que tiene máximo. Por estar acotada superiormente el conjunto imagen tiene supremo \( s \).

Entonces para todo \( n>0 \) existe un \( x_n \) tal que \( s-\dfrac{1}{n}<f(x_n)\leq s \).

De nuevo por ser \( X \) compacto, \( \{x_n\} \) tiene una subsucesión convergente \( \{x_{n_k}\}\to x \).

Por ser \( f \) semicontinua para todo \( m>0 \) existe un \( \delta_m \) tal que si

\( |y-x|<\delta_m \) entonces \( f(y)\leq f(x)+\dfrac{1}{m} \)

Ahora para \( k>k_0 \) se tiene que \( |x_{n_k}-x|<\delta_M \) y por tanto:

\( s-\dfrac{1}{n_k}<f(x_{n_k})\leq f(x)+\dfrac{1}{m} \)

Cuando \( k\to \infty \) se obtiene:

\( s\leq f(x)+\dfrac{1}{m} \)

es decir:

\( s-\dfrac{1}{m}\leq f(x)\leq s \)

y cuando \( m\to\infty \) se concluye que \( f(x)=s \).

Saludos.